\int_{1 / 3}^{3} \frac{1}{1+9 x^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1/3}^{3}\frac{1}{1+9x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{1}{1+9x^{2}}.
  • Limites de integração: x=1/3 (inferior) e x=3 (superior).
    O objetivo é calcular esse valor exato da integral. Vamos fazer isso passo a passo — sem pular etapas.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar) e por quê ela vale:
A função arco-tangente satisfaz
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Explicação curta e intuitiva: se y=\arctan u então u=\tan y. Derivando ambos os lados em relação a u e usando que \dfrac{d}{dy}\tan y=\operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y, chega-se a \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Logo, a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u:
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan u + C.
Para um coeficiente a>0 no argumento ax temos a substituição u=ax, du=a\,dx, que dá a fórmula prática
\int \frac{1}{1+a^{2}x^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan(ax)+C.
Isto é exatamente o tipo de integral que temos (com a=3). Vou aplicar essa ideia com cuidado nos limites.

Passo 3

Fazer a substituição u=3x. Então
du=3\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Mudar os limites:
x=\frac{1}{3}\Rightarrow u=3\cdot\frac{1}{3}=1, \qquad x=3\Rightarrow u=3\cdot 3=9.
Substituindo na integral:
\int_{1/3}^{3}\frac{1}{1+9x^{2}}\,dx =\int_{u=1}^{u=9}\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int_{1}^{9}\frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Avaliar a integral usando a primitiva \arctan u:
\frac{1}{3}\int_{1}^{9}\frac{1}{1+u^{2}}\,du =\frac{1}{3}\bigl[\arctan u\bigr]_{1}^{9} =\frac{1}{3}\bigl(\arctan 9 - \arctan 1\bigr).
Como \arctan 1=\dfrac{\pi}{4}, temos
\frac{1}{3}\bigl(\arctan 9 - \arctan 1\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(\arctan 9 - \tfrac{\pi}{4}\bigr).
Podemos também simplificar a diferença de arctangentes com a fórmula
\arctan a - \arctan b = \arctan\!\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) \quad\text{(quando \(a,b>0\), evita ambiguidade de quadrante).}
Aplicando com a=9 e b=1 obtém-se
\arctan 9 - \arctan 1 = \arctan\!\left(\frac{9-1}{1+9\cdot1}\right) =\arctan\!\left(\frac{8}{10}\right) =\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).
Portanto uma forma mais compacta é
\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).

Passo 5

Verificação numérica rápida (só para checar): \arctan\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\approx 0,67474094, então
\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{4}{5}\right)\approx 0,22491365.
Tudo consistente com os passos anteriores. Boa! Você conseguiu acompanhar a substituição e o uso da primitiva da função arco-tangente — isso resolve muitos integrais desse tipo.

Resposta

\dfrac{1}{3}\arctan\!\left(\dfrac{4}{5}\right)

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