Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Limites de integração:
(inferior) e (superior).
O objetivo é calcular esse valor exato da integral. Vamos fazer isso passo a passo — sem pular etapas.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar) e por quê ela vale:
A função arco-tangente satisfaz
Explicação curta e intuitiva: se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
e usando que
, chega-se a
. Logo, a primitiva de
é
:
Para um coeficiente
no argumento
temos a substituição
,
, que dá a fórmula prática
Isto é exatamente o tipo de integral que temos (com
). Vou aplicar essa ideia com cuidado nos limites.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então
Mudar os limites:
Substituindo na integral:
Passo 4
Avaliar a integral usando a primitiva
:
Como
, temos
Podemos também simplificar a diferença de arctangentes com a fórmula
Aplicando com
e
obtém-se
Portanto uma forma mais compacta é
Passo 5
Verificação numérica rápida (só para checar):
, então
Tudo consistente com os passos anteriores. Boa! Você conseguiu acompanhar a substituição e o uso da primitiva da função arco-tangente — isso resolve muitos integrais desse tipo.