Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de:
(A)
.
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu identifique as derivadas parciais
,
e
. As informações relevantes são: a função é a soma de três termos (
,
e
) e devemos diferenciar cada termo em relação a cada variável, tratando as demais como constantes quando for o caso. Não há mais informações escondidas no enunciado.
Passo 2
Definição e ideia prática de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, é a taxa de variação de
quando só
varia e
ficam fixos. Formalmente,
Analogamente definimos
e
. Na prática, para calcular
tratamos
e
como constantes e diferenciamos normalmente em
; para
tratamos
e
como constantes; para
tratamos
e
como constantes.
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
- A derivada de uma constante é
. Ex.: . - Se uma expressão é produto de uma função dependente da variável com uma que é constante, a constante sai da derivada. Ex.: se
é constante, . - Regra do poder (para funções do tipo
com inteiro): . No caso de quando diferenciamos em relação a , porque é tratado como constante; quando diferenciamos em relação a , temos .
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
- Começo dos termos:
. - Derivada em relação a
termo a termo: -
(constante). -
porque é constante em relação a . -
porque é tratado como constante.
-
- Somando os resultados:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo:
- Usamos a mesma decomposição
. - Derivada em relação a
: -
. -
, porque é constante aqui. -
.
-
- Portanto
Passo 6
Cálculo de
passo a passo:
- Derivada em relação a
: -
. -
porque e são constantes em relação a . -
.
-
- Logo
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos (para conferência rápida):
Compare mentalmente com as alternativas dadas e verifique qual apresenta exatamente esse triplo.
Resposta
(D)