Assinale a alternativa que contenhas as derivadas parciais de:
f(x, y, z)=1+x y^{2}-2 z^{2} \ldots
(A) f_{x}(x, y, z)=x y^{2} ; f_{y}(x, y, z)=3 x y^{2} ; f_{z}(x, y, z)=-4 z^{3} . ..
(B) \quad f_{x}(x, y, z)=y^{2} ; f_{y}(x, y, z)=x y^{2} ; f_{z}(x, y, z)=-z^{4} . \ldots
(C) f_{x}(x, y, z)=x^{2} ; f_{y}(x, y, z)=y^{2} ; f_{z}(x, y, z)=-2 z^{4} \ldots
(D)
f_{x}(x, y, z)=y^{2} ; f_{y}(x, y, z)=2 x y ; f_{z}(x, y, z)=-4 z . \ldots
(E)
f_{x}(x, y, z)=2 y^{2} ; f_{y}(x, y, z)=4 x y^{2} ; f_{z}(x, y, z)=-2 z^{4} \ldots

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=1+x y^{2}-2 z^{2}
e pede que eu identifique as derivadas parciais f_{x}, f_{y} e f_{z}. As informações relevantes são: a função é a soma de três termos ( 1, x y^{2} e -2 z^{2}) e devemos diferenciar cada termo em relação a cada variável, tratando as demais como constantes quando for o caso. Não há mais informações escondidas no enunciado.

Passo 2

Definição e ideia prática de derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, escrita f_{x}(x,y,z), é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos. Formalmente,
f_{x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Analogamente definimos f_{y} e f_{z}. Na prática, para calcular f_{x} tratamos y e z como constantes e diferenciamos normalmente em x; para f_{y} tratamos x e z como constantes; para f_{z} tratamos x e y como constantes.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada de uma constante é 0. Ex.: \dfrac{d}{dx}1=0.
  • Se uma expressão é produto de uma função dependente da variável com uma que é constante, a constante sai da derivada. Ex.: se c é constante, \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c.
  • Regra do poder (para funções do tipo u^{n} com n inteiro): \dfrac{d}{dx}u^{n}=n u^{n-1}\dfrac{du}{dx}. No caso de y^{2} quando diferenciamos em relação a x, \dfrac{d}{dx}y^{2}=0 porque y é tratado como constante; quando diferenciamos y^{2} em relação a y, temos \dfrac{d}{dy}y^{2}=2y.

Passo 4

Cálculo de f_{x}(x,y,z) passo a passo:
  • Começo dos termos: f(x,y,z)=1 + x y^{2} - 2 z^{2}.
  • Derivada em relação a x termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}1 = 0 (constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) = y^{2}\cdot\dfrac{d}{dx}x = y^{2} porque y^{2} é constante em relação a x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-2 z^{2}) = 0 porque z é tratado como constante.
  • Somando os resultados:
f_{x}(x,y,z)=0 + y^{2} + 0 = y^{2}.

Passo 5

Cálculo de f_{y}(x,y,z) passo a passo:
  • Usamos a mesma decomposição f=1 + x y^{2} - 2 z^{2}.
  • Derivada em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}1 = 0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2}) = x \cdot \dfrac{d}{dy}(y^{2}) = x \cdot 2y = 2 x y, porque x é constante aqui.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2 z^{2}) = 0.
  • Portanto
f_{y}(x,y,z)=0 + 2 x y + 0 = 2 x y.

Passo 6

Cálculo de f_{z}(x,y,z) passo a passo:
  • Derivada em relação a z:
    • \dfrac{\partial}{\partial z}1 = 0.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(x y^{2}) = 0 porque x e y são constantes em relação a z.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(-2 z^{2}) = -2 \cdot \dfrac{d}{dz}(z^{2}) = -2 \cdot 2z = -4 z.
  • Logo
f_{z}(x,y,z)=0 + 0 -4 z = -4 z.

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos (para conferência rápida):
f_{x}(x,y,z)=y^{2},\qquad f_{y}(x,y,z)=2 x y,\qquad f_{z}(x,y,z)=-4 z.
Compare mentalmente com as alternativas dadas e verifique qual apresenta exatamente esse triplo.

Resposta

(D)

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