Com relação ao domínio da função: f(x, y)=\sqrt{y^{2}-2 x} podemos afirmar que:
(A) O resultado da expressão: y^{2}-2 x tem de ser maior do que zero.
(B) Apenas a variável y não pode assumir o valor zero.
(C) Apenas a variável x não pode assumir o valor zero.
(D) Ambas as variáveis x e y não podem assumir o valor zero.
(E) As variáveis x e y podem assumir qualquer valor real.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{y^{2}-2x} e pede que escolhamos, entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação sobre o domínio é verdadeira. As alternativas são:
(A) O resultado da expressão: y^{2}-2x tem de ser maior do que zero.
(B) Apenas a variável y não pode assumir o valor zero.
(C) Apenas a variável x não pode assumir o valor zero.
(D) Ambas as variáveis x e y não podem assumir o valor zero.
(E) As variáveis x e y podem assumir qualquer valor real.
Listei todas as informações relevantes acima. A partir daqui vamos analisar passo a passo o que o enunciado realmente exige (o domínio da função).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para que a função f(x,y)=\sqrt{\text{algo}} esteja bem definida como número real, o que está dentro da raiz (o radicando) tem de ser um número não negativo. Ou seja, a condição que garante que a raiz quadrada de um número seja um número real é:
\text{o radicando} \ge 0.
Aqui não dá pra pular etapa: raiz quadrada real de um número negativo não existe (no conjunto dos reais). Zero é permitido porque \sqrt{0}=0. Então a condição correta é “maior ou igual a zero” ( \ge 0), não “maior que zero” ( >0).

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso radicando, que é y^{2}-2x, temos a condição de existência (domínio):
y^{2}-2x \ge 0.
Vou desenvolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 4

Isolando x na desigualdade para entender quais pares (x,y) são permitidos:
y^{2}-2x \ge 0
subtraindo y^{2} dos dois lados:
-2x \ge -y^{2}
dividindo por -2 (lembrando que ao dividir por número negativo a desigualdade inverte):
x \le \frac{y^{2}}{2}.
Portanto, a descrição do domínio é:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x \le \tfrac{y^{2}}{2}\}.

Passo 5

Interpretação prática e exemplos (para você usar na prova): qualquer par (x,y) cujo x seja menor ou igual a \tfrac{y^{2}}{2} pertence ao domínio. Exemplos:
  • Se y=0, a condição fica x \le 0. Logo (0,0) está no domínio porque 0 \le 0 e \sqrt{0}=0.
  • Se x=0, a condição fica 0 \le \tfrac{y^{2}}{2}, que é sempre verdadeira para todo y. Logo qualquer par com x=0 está no domínio (por exemplo (0,1), (0,-3)).
  • Se x=5 e y=1, verifica-se 1^{2}-2\cdot5=1-10=-9<0, então (5,1) NÃO pertence ao domínio.
Esses exemplos mostram que nem x nem y têm uma proibição absoluta de assumir o valor zero; tudo depende da relação x \le \tfrac{y^{2}}{2}.

Passo 6

Agora confrontamos cada alternativa com a condição correta x \le \tfrac{y^{2}}{2}:
(A) Diz que y^{2}-2x tem de ser maior do que zero. Isto está quase certo: o correto é que y^{2}-2x tem de ser maior ou igual a zero ( \ge 0), pois o caso igual a zero (radicando zero) é permitido. A alternativa A afirma estritamente >0, o que exclui pontos válidos como (0,0). Então, estritamente falando, (A) está formulada de forma imprecisa/errada, mas é a que mais se aproxima da condição essencial sobre o radicando.
(B) “Apenas y não pode ser zero.” Falso: y=0 é permitido desde que x\le 0. Portanto (B) é incorreta.
(C) “Apenas x não pode ser zero.” Falso: x=0 é permitido para qualquer y (pois 0 \le y^{2}/2 sempre). Portanto (C) é incorreta.
(D) “Ambas x e y não podem ser zero.” Falso: (0,0) pertence ao domínio, pois y^{2}-2x=0 e \sqrt{0}=0. Portanto (D) é incorreta.
(E) “As variáveis x e y podem assumir qualquer valor real.” Falso: por exemplo (x,y)=(5,1) não está no domínio (veja passo 5). Portanto (E) é incorreta.

Passo 7

Conclusão didática e motivação: a condição correta para o domínio é y^{2}-2x\ge 0, i.e. x\le \tfrac{y^{2}}{2}. Isso rejeita B, C, D, E. A alternativa (A) erra ao dizer “maior do que zero” em vez de “maior ou igual a zero”, mas é a alternativa que mais se relaciona com a condição do radicando (o autor da questão provavelmente quis expressar que o radicando não pode ser negativo). Como a questão é objetiva e exige uma única escolha entre as dadas, a alternativa que melhor representa a condição necessária (mesmo que escrita de forma imprecisa) é a alternativa (A). Vai dar tudo certo na prova — só lembrar: aceitamos zero dentro da raiz.

Resposta

(A)

Exercícios relacionados