Com relação ao domínio da função:
podemos afirmar que:
(A) O resultado da expressão:
tem de ser maior do que zero.
(B) Apenas a variável y não pode assumir o valor zero.
(C) Apenas a variável
não pode assumir o valor zero.
(D) Ambas as variáveis
e
não podem assumir o valor zero.
(E) As variáveis
e
podem assumir qualquer valor real.
(A) O resultado da expressão:
(B) Apenas a variável y não pode assumir o valor zero.
(C) Apenas a variável
(D) Ambas as variáveis
(E) As variáveis
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que escolhamos, entre as alternativas (A) a (E), qual afirmação sobre o domínio é verdadeira. As alternativas são:
(A) O resultado da expressão:
tem de ser maior do que zero.
(B) Apenas a variável não pode assumir o valor zero.
(C) Apenas a variável não pode assumir o valor zero.
(D) Ambas as variáveis e
não podem assumir o valor zero.
(E) As variáveis e
podem assumir qualquer valor real.
(B) Apenas a variável
(C) Apenas a variável
(D) Ambas as variáveis
(E) As variáveis
Listei todas as informações relevantes acima. A partir daqui vamos analisar passo a passo o que o enunciado realmente exige (o domínio da função).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para que a função
esteja bem definida como número real, o que está dentro da raiz (o radicando) tem de ser um número não negativo. Ou seja, a condição que garante que a raiz quadrada de um número seja um número real é:
Aqui não dá pra pular etapa: raiz quadrada real de um número negativo não existe (no conjunto dos reais). Zero é permitido porque
. Então a condição correta é “maior ou igual a zero” (
), não “maior que zero” (
).
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso radicando, que é
, temos a condição de existência (domínio):
Vou desenvolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 4
Isolando
na desigualdade para entender quais pares
são permitidos:
subtraindo
dos dois lados:
dividindo por
(lembrando que ao dividir por número negativo a desigualdade inverte):
Portanto, a descrição do domínio é:
Passo 5
Interpretação prática e exemplos (para você usar na prova): qualquer par
cujo
seja menor ou igual a
pertence ao domínio. Exemplos:
- Se
, a condição fica . Logo está no domínio porque e . - Se
, a condição fica , que é sempre verdadeira para todo . Logo qualquer par com está no domínio (por exemplo , ). - Se
e , verifica-se , então NÃO pertence ao domínio.
Esses exemplos mostram que nem
nem
têm uma proibição absoluta de assumir o valor zero; tudo depende da relação
.
Passo 6
Agora confrontamos cada alternativa com a condição correta
:
(A) Diz que
tem de ser maior do que zero. Isto está quase certo: o correto é que
tem de ser maior ou igual a zero (
), pois o caso igual a zero (radicando zero) é permitido. A alternativa A afirma estritamente
, o que exclui pontos válidos como
. Então, estritamente falando, (A) está formulada de forma imprecisa/errada, mas é a que mais se aproxima da condição essencial sobre o radicando.
(B) “Apenas
não pode ser zero.” Falso:
é permitido desde que
. Portanto (B) é incorreta.
(C) “Apenas
não pode ser zero.” Falso:
é permitido para qualquer
(pois
sempre). Portanto (C) é incorreta.
(D) “Ambas
e
não podem ser zero.” Falso:
pertence ao domínio, pois
e
. Portanto (D) é incorreta.
(E) “As variáveis
e
podem assumir qualquer valor real.” Falso: por exemplo
não está no domínio (veja passo 5). Portanto (E) é incorreta.
Passo 7
Conclusão didática e motivação: a condição correta para o domínio é
, i.e.
. Isso rejeita B, C, D, E. A alternativa (A) erra ao dizer “maior do que zero” em vez de “maior ou igual a zero”, mas é a alternativa que mais se relaciona com a condição do radicando (o autor da questão provavelmente quis expressar que o radicando não pode ser negativo). Como a questão é objetiva e exige uma única escolha entre as dadas, a alternativa que melhor representa a condição necessária (mesmo que escrita de forma imprecisa) é a alternativa (A). Vai dar tudo certo na prova — só lembrar: aceitamos zero dentro da raiz.
Resposta
(A)