Assinale a alternativa que corresponda a uma forma funcional de uma função de onda y(x, t) que satisfaça à equação de onda. ( v é a velocidade da onda em propagação no meio).
a) y(x, t)=e^x-t
b) y(x+t)=sen(v x+v t)
c) y(x, t)=ln (2 x+2 v t).
d) y(x, t)=(v x-t)^6+(v x+t)^6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre a equação de onda, que é uma equação fundamental na física para descrever como ondas se propagam em um meio. A gente precisa identificar qual das alternativas dadas representa uma função de onda $ y(x, t) $ que satisfaz essa equação. Para isso, vamos lembrar que a equação de onda é:
y(x, t)
onde $ v $ é a velocidade da onda no meio. Vamos analisar cada alternativa para ver qual se encaixa nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que soluções gerais da equação de onda têm a forma:
y(x, t) = f(x - vt) + g(x + vt)
Isso significa que qualquer função que depende de $ x - vt $ ou $ x + vt $ (ou uma combinação das duas) é uma solução válida da equação de onda. Essas funções representam ondas que se movem para a direita e para a esquerda com velocidade $ v $.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa:
a) $ y(x, t) = e^{x - t} $
Aqui, a função depende de $ x - t $, mas a velocidade $ v $ não está presente. Além disso, a unidade de $ x $ (metros) e $ t $ (segundos) não são compatíveis sem o fator $ v $. Portanto, essa opção não satisfaz a equação de onda.

Passo 4

b) $ y(x, t) = \sin(vx + vt) $
Essa função pode ser reescrita como:
y(x, t) = sin(vx + vt)
Aqui, a função depende de $ x + t $ multiplicado por $ v $, que é coerente com a forma geral $ f(x + vt) $. Portanto, essa alternativa está alinhada com a solução da equação de onda.

Passo 5

c) $ y(x, t) = \ln(2x + 2vt) $
A função logarítmica aqui depende de $ 2x + 2vt $. Embora inclua o termo $ vt $, a presença do logaritmo complica a verificação, e funções logarítmicas não são soluções típicas da equação de onda, que geralmente envolve funções trigonométricas ou polinomiais simples.

Passo 6

d) $ y(x, t) = (vx - t)^6 + (vx + t)^6 $
Vamos analisar os termos $ vx - t $ e $ vx + t $. Para que isso seja uma solução válida, deveria ser da forma $ x \pm vt $. Porém, aqui temos $ vx $ multiplicado por $ x $ e $ t $ sem o fator $ v $ no segundo termo. Além disso, ao elevar ao sexto grau, a função se torna não linear, o que não corresponde às soluções típicas da equação de onda.

Resposta

A alternativa b) $ y(x, t) = \sin(vx + vt) $ é a forma funcional correta que satisfaz à equação de onda.

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