A paralaxe trigonométrica de uma estrela corresponde à metade de seu deslocamento angular aparente em um intervalo de tempo de cerca de metade do período orbital da Terra em torno do Sol. O parsec é definido como a distância de uma estrela cuja paralaxe p é de um segundo de arco, ou seja,
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre paralaxe trigonométrica e parsec! Basicamente, a questão fala sobre como medir a distância de uma estrela usando o deslocamento angular que ela parece ter quando a Terra se move na sua órbita ao redor do Sol. Para isso, precisamos entender o que é paralaxe, o que é um parsec e como relacionar essas coisas para chegar na distância em centímetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é paralaxe trigonométrica. Paralaxe é o deslocamento aparente de um objeto visto de dois pontos de vista diferentes. No caso das estrelas, observamos esse deslocamento quando a Terra se move em sua órbita ao redor do Sol. A paralaxe trigonométrica é a metade desse deslocamento angular aparente que ocorre em um intervalo de tempo de cerca de metade do período orbital da Terra (ou seja, cerca de seis meses).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o parsec. Um parsec é uma unidade de distância usada na astronomia, definida como a distância à qual uma estrela teria uma paralaxe de um segundo de arco (1"). A fórmula para calcular a distância em parsecs (d) a partir da paralaxe § é:
Isso significa que se a paralaxe de uma estrela é de 1 segundo de arco, sua distância é de 1 parsec.
Passo 4
Para mostrar que 1 parsec equivale a
centímetros, vamos usar relações trigonométricas básicas e algumas conversões de unidades.
Sabemos que:
- 1 ano-luz ≈
cm - 1 parsec ≈ 3,26 anos-luz
Mas vamos fazer o cálculo completo para chegar no valor solicitado.
Passo 5
Primeiro, convertemos o ângulo de paralaxe de segundos de arco para radianos, já que em trigonometria usamos radianos. Sabemos que:
Então, para
:
Passo 6
Em seguida, usamos a definição de paralaxe. Considerando um triângulo retângulo onde o ângulo é a paralaxe
, o lado oposto é 1 unidade astronômica (UA = distância média da Terra ao Sol ≈
cm), e o lado adjacente é a distância
que queremos encontrar.
Usando a tangente do ângulo:
Como
é muito pequeno, podemos usar a aproximação
:
Passo 7
Rearranjando a equação para encontrar
:
Substituindo
em radianos:
Passo 8
Calculando a divisão:
Resposta
Assim, mostramos que
.