A paralaxe trigonométrica de uma estrela corresponde à metade de seu deslocamento angular aparente em um intervalo de tempo de cerca de metade do período orbital da Terra em torno do Sol. O parsec é definido como a distância de uma estrela cuja paralaxe p é de um segundo de arco, ou seja, d(pc)=1 / p . Mostre que 1 pc=3,09 times 10^18 cm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre paralaxe trigonométrica e parsec! Basicamente, a questão fala sobre como medir a distância de uma estrela usando o deslocamento angular que ela parece ter quando a Terra se move na sua órbita ao redor do Sol. Para isso, precisamos entender o que é paralaxe, o que é um parsec e como relacionar essas coisas para chegar na distância em centímetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é paralaxe trigonométrica. Paralaxe é o deslocamento aparente de um objeto visto de dois pontos de vista diferentes. No caso das estrelas, observamos esse deslocamento quando a Terra se move em sua órbita ao redor do Sol. A paralaxe trigonométrica é a metade desse deslocamento angular aparente que ocorre em um intervalo de tempo de cerca de metade do período orbital da Terra (ou seja, cerca de seis meses).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o parsec. Um parsec é uma unidade de distância usada na astronomia, definida como a distância à qual uma estrela teria uma paralaxe de um segundo de arco (1"). A fórmula para calcular a distância em parsecs (d) a partir da paralaxe § é:
d(pc) = 1p
Isso significa que se a paralaxe de uma estrela é de 1 segundo de arco, sua distância é de 1 parsec.

Passo 4

Para mostrar que 1 parsec equivale a 3,09 times 10^18 centímetros, vamos usar relações trigonométricas básicas e algumas conversões de unidades.
Sabemos que:
  • 1 ano-luz ≈ 9,46 times 10^17 cm
  • 1 parsec ≈ 3,26 anos-luz
Mas vamos fazer o cálculo completo para chegar no valor solicitado.

Passo 5

Primeiro, convertemos o ângulo de paralaxe de segundos de arco para radianos, já que em trigonometria usamos radianos. Sabemos que:
1 segundo de arco = pi648000 radianos
Então, para p = 1":
p = pi648000 rad

Passo 6

Em seguida, usamos a definição de paralaxe. Considerando um triângulo retângulo onde o ângulo é a paralaxe p, o lado oposto é 1 unidade astronômica (UA = distância média da Terra ao Sol ≈ 1,496 times 10^13 cm), e o lado adjacente é a distância d que queremos encontrar.
Usando a tangente do ângulo:
tan(p) = 1 UAd
Como p é muito pequeno, podemos usar a aproximação tan(p) approx p:
p approx 1 UAd

Passo 7

Rearranjando a equação para encontrar d:
d approx 1 UAp
Substituindo p em radianos:
d approx 1,496 times 10^13 cmpi / 648000

Passo 8

Calculando a divisão:
d approx 1,496 times 10^13 times 648000pi
d approx 9,694 times 10^183,1416
d approx 3,09 times 10^18 cm

Resposta

Assim, mostramos que 1 pc = 3,09 times 10^18 cm.

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