Assinale a alternativa que fornece a única asserção INCORRETA:
a) \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)<\operatorname{dim}\left(\mathcal{P}_{n}\right)<\operatorname{dim}(M(n, n)) para qualquer inteiro n \geq 2;.
b) A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base (caso sua dimensão seja finita).
c) O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço.
d) Todo subespaço de um espaço vetorial tem dimensão menor ou no máximo igual a de todo o espaço.
e) Os espaços vetoriais de dimensão infinita possuem subespaços cuja dimensão é finita.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre dimensão de espaços vetoriais e pede para identificar a única incorreta. O conteúdo envolve definição de dimensão finita, bases, conjuntos geradores, subespaços e exemplos clássicos como \mathbb{R}^n, \mathcal{P}_n (polinômios de grau ≤ n) e M(n,n) (matriz n\times n). Para resolver, vamos usar:
  1. \dim(\mathbb{R}^n)=n.
  2. \dim(\mathcal{P}_n)=n+1.
  3. \dim(M(n,n))=n^2.
  4. Definição de dimensão finita (número de vetores em qualquer base).
  5. Propriedades de subespaços e conjuntos geradores.

Passo 2

Analisando a) “ \dim(\mathbb{R}^{n})<\dim(\mathcal{P}_{n})<\dim(M(n,n)) para qualquer inteiro n\ge2”.
Calculamos: \dim(\mathbb{R}^n)=n, \dim(\mathcal{P}_n)=n+1, \dim(M(n,n))=n^2.
Para n\ge2 vale
n < n+1 < n^2,
logo a) está correta.

Passo 3

Analisando b) “A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base (caso sua dimensão seja finita)”.
Isso segue diretamente da definição de dimensão em espaços vetoriais finitamente gerados. Portanto b) está correta.

Passo 4

Analisando c) “O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço”.
Um conjunto gerador pode ter vetores redundantes e, em geral, ter mais vetores do que uma base mínima. Apenas toda base é um conjunto gerador minimal, mas um gerador não precisa ter tamanho igual ao da base. Logo c) é falsa.

Passo 5

Analisando d) “Todo subespaço de um espaço vetorial tem dimensão menor ou no máximo igual à de todo o espaço”.
É propriedade clássica que, em dimensão finita ou infinita, \dim(W)\le\dim(V) para todo subespaço W\subseteq V. Assim d) está correta.

Passo 6

Analisando e) “Os espaços vetoriais de dimensão infinita possuem subespaços cuja dimensão é finita”.
Basta escolher um número finito de vetores independentes para gerar um subespaço finito. Logo e) está correta.

Passo 7

Como apenas c) é incorreta, essa é a resposta buscada.

Resposta

c) O conjunto gerador de um espaço vetorial tem exatamente o mesmo número de vetores da base deste espaço.

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