Nos itens a seguir considere o produto interno em \mathbb{R}^{2} como produto usual.
Dado v_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) \in \mathbb{R}^{2}, determine v_{2} \in \mathbb{R}^{2} a fim de que \left\{v_{1}, v_{2}\right\} seja base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \displaystyle v_{1}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr)
em \mathbb{R}^2 com o produto interno usual, e pede um segundo vetor v_{2} tal que \{v_{1},v_{2}\} seja base ortonormal. Para isso precisamos de dois requisitos:
  1. \langle v_{1},v_{2}\rangle=0 (ortogonalidade)
  2. \|v_{2}\|=1 (normalização)

Passo 2

Escrevendo v_{2}=(x,y), a condição de ortogonalidade \langle v_{1},v_{2}\rangle=0 vira
\frac{1}{\sqrt{5}}\,x+\frac{2}{\sqrt{5}}\,y=0
Multiplicando por \sqrt{5} obtemos
x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2y.

Passo 3

Com v_{2}=(-2y,y), exigimos norma unitária:
\|v_{2}\| =\sqrt{(-2y)^{2}+y^{2}} =\sqrt{5y^{2}} =|y|\sqrt{5} \stackrel{!}{=}1
Logo |y|=1/\sqrt{5}. Podemos escolher y=1/\sqrt{5}, o que dá
v_{2}=\Bigl(-2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) =\bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},\;\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr).

Resposta

v_{2}=\bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},\;\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr),
pois esse vetor é ortogonal a v_{1} e tem norma 1, tornando \{v_{1},v_{2}\} uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.

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