Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
a) \frac{d y}{d x}=x y
b) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}
c) \frac{d x}{d t}=1+x^{2}
d) \frac{d x}{d t}=x+t
e) \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x^{2}+1}
f) \frac{d x}{d t}=x\left(1+t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos quais das equações diferenciais listadas são de variáveis separáveis, ou seja, da forma
\frac{dY}{dX}=g(X)\,h(Y)
ou, no caso de derivada em relação a t,
\frac{dX}{d t}=G(t)\,H(X),
permitindo escrever
\int\frac{dY}{h(Y)}=\int g(X)\,dX \quad\text{ou}\quad \int\frac{dX}{H(X)}=\int G(t)\,dt.

Passo 2

Uma equação é separável se a função do lado direito puder ser escrita como produto de uma função que depende apenas da variável independente e outra que depende apenas da variável dependente. Em outras palavras, deve haver fatoração do tipo
g(\text{independente})\times h(\text{dependente}).

Passo 3

Aplicando esse critério a cada item:
Para (a) \dfrac{d y}{d x}=x\,y
o lado direito já é g(x)\,h(y) com g(x)=x e h(y)=y. Logo é separável.
Para (b) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x}
pode ser reescrita como \dfrac{y}{x}= \bigl(\tfrac1x\bigr)\,y, então g(x)=1/x e h(y)=y. É separável.
Para (c) \dfrac{d x}{d t}=1+x^{2}
pode ser vista como (1+x^{2})\cdot1, isto é, G(t)=1 e H(x)=1+x^{2}. É separável.
Para (d) \dfrac{d x}{d t}=x+t
não se factoriza em função só de t vezes função só de x, pois é soma. Não é separável.
Para (e) \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+y}{x^{2}+1}
o numerador mistura x e y de forma aditiva, não sendo produto g(x)\,h(y). Não é separável.
Para (f) \dfrac{d x}{d t}=x\bigl(1+t^{2}\bigr)
é produto H(x)=x e G(t)=1+t^{2}. É separável.

Resposta

As equações separáveis são as dos itens (a), (b), (c) e (f).

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