Resolva as seguintes equações de Bernoulli.
y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{y^{3}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Bernoulli
y' + \frac{y}{x} = \frac{y^{3}}{2}
com n=3. Para resolver, vamos usar a transformação padrão para Bernoulli, definindo
u = y^{1-n} = y^{-2}.

Passo 2

Calculamos u' em função de y e y'. Como u = y^{-2},
u' = -2\,y^{-3}y'.
De onde isolamos
y' = -\frac{y^{3}}{2}\,u'.

Passo 3

Substituímos y' e y^{-2}=u na equação original:
-\frac{y^{3}}{2}\,u' + \frac{y}{x} = \frac{y^{3}}{2}.
Dividindo tudo por y^{3} resulta
-\frac{1}{2}u' + \frac{u}{x} = \frac12.
Multiplicando por 2 obtemos a equação linear em u:
u' - \frac{2}{x}\,u = -1.

Passo 4

Para resolver
u' - \frac{2}{x}u = -1
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\!\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por x^{-2} vem
\frac{d}{dx}\bigl(u\,x^{-2}\bigr) = -x^{-2}.
Integrando,
u\,x^{-2} = \int -x^{-2}\,dx = x^{-1} + C,
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u = x^{2}\Bigl(\frac1{x} + C\Bigr) = x + C\,x^{2}.

Passo 5

Voltando à variável original, u = y^{-2}, temos
y^{-2} = x + C\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{x(1 + Cx)} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\frac{1}{\sqrt{x(1 + Cx)}}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{x\,(1 + Cx)}},
onde C é constante de integração.

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