Assinale a função derivada de h(x)=\sin ^{2}(x) :
(a) h(x)^{\prime}=2 \cos ^{2}(x) \sin (x)
(b) h(x)^{\prime}=2 \sin (x) \cos (x)
(c) h(x)^{\prime}=2 \sin ^{2}(x) \cos (x)
(d) h(x)^{\prime}=\sin ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\sin^{2}(x) e pede para assinalar qual das alternativas é a derivada de h. As alternativas dadas são:
(a) h'(x)=2\cos^{2}(x)\sin(x)
(b) h'(x)=2\sin(x)\cos(x)
(c) h'(x)=2\sin^{2}(x)\cos(x)
(d) h'(x)=\sin^{2}(x)

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica que usaremos: a derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x). Em notação,
\frac{d}{dx}\big(\sin(x)\big)=\cos(x).
Isto significa que, quando a variável x muda um pouco, a taxa de variação de \sin(x) é dada por \cos(x). Aqui \sin e \cos são funções de x.

Passo 3

Identificação conveniente para aplicar uma regra: escrevemos h(x) como uma composição. Defina
u(x)=\sin(x), \qquad\text{então}\qquad h(x)=\big(u(x)\big)^{2}.ã
Agora usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que, se h(x)=f(u(x)) com f diferenciável em u e u diferenciável em x, então
h'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
No nosso caso f(u)=u^{2}, então f'(u)=2u. Aplicando:
h'(x)=2u(x)\cdot u'(x).

Passo 4

Substituímos u(x)=\sin(x) e u'(x)=\cos(x) (veja o Passo 2). Assim
h'(x)=2\sin(x)\cdot\cos(x).
Esta é a forma simplificada da derivada de h.

Passo 5

Para ficar ainda mais seguro, mostro um método alternativo (produto) que dá o mesmo resultado. Escreva
h(x)=\sin^{2}(x)=\sin(x)\cdot\sin(x).
A regra do produto diz que \frac{d}{dx}[p(x)q(x)]=p'(x)q(x)+p(x)q'(x). Tomando p(x)=\sin(x) e q(x)=\sin(x),
h'(x)=\cos(x)\sin(x)+\sin(x)\cos(x)=2\sin(x)\cos(x),
confirmando o resultado do Passo 4.

Passo 6

Observação final rápida e motivadora: 2\sin(x)\cos(x) também pode ser escrito como \sin(2x) usando identidade trigonométrica, mas para a escolha entre as alternativas a forma 2\sin(x)\cos(x) é exatamente a alternativa correta.

Resposta

(b) \;h'(x)=2\sin(x)\cos(x)

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