Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para assinalar qual das alternativas é a derivada de
. As alternativas dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica que usaremos: a derivada de
em relação a
é
. Em notação,
Isto significa que, quando a variável
muda um pouco, a taxa de variação de
é dada por
. Aqui
e
são funções de
.
Passo 3
Identificação conveniente para aplicar uma regra: escrevemos
como uma composição. Defina
Agora usamos a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia diz que, se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
No nosso caso
, então
. Aplicando:
Passo 4
Substituímos
e
(veja o Passo 2). Assim
Esta é a forma simplificada da derivada de
.
Passo 5
Para ficar ainda mais seguro, mostro um método alternativo (produto) que dá o mesmo resultado. Escreva
A regra do produto diz que
. Tomando
e
,
confirmando o resultado do Passo 4.
Passo 6
Observação final rápida e motivadora:
também pode ser escrito como
usando identidade trigonométrica, mas para a escolha entre as alternativas a forma
é exatamente a alternativa correta.
Resposta
(b)