Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Foram dadas quatro alternativas com possíveis expressões para
. O objetivo é calcular
passo a passo e identificar qual alternativa corresponde à derivada correta.
Passo 2
Relembrando a ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte. Se uma função
é composta, isto é, se
onde
é uma função externa e
é a função interna, então a derivada de
é
Aqui cada símbolo significa:
-
é a derivada da função externa em relação à sua variável. -
é a derivada da função interna em relação a .
Em palavras: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da interna.
Também vamos precisar da derivada da função cosseno: para qualquer variável
,
Isso significa que ao derivar
aparece um sinal negativo e um
da mesma entrada.
Passo 3
Identificar a função externa e a interna no nosso caso. Podemos escrever
Aqui:
- A função externa é
. - A função interna é
.
Agora vamos calcular
passo a passo. Derivando termo a termo:
A derivada de
é
, ou seja
. A derivada de
é
Portanto
(Resumo: derivada de
dá
, por isso aparece
.)
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia à função
. Usando
e multiplicando por
,
Substituindo
de volta,
Passo 5
A expressão final obtida para a derivada é
Esta é a forma simplificada e correta do resultado.
Resposta
(b)