Assinale a função derivada de h(x)=\cos (x-\cos (x)) :
(a) h(x)^{\prime}=-\cos (x-\cos (x))
(b) h(x)^{\prime}=-\sin (x-\cos (x))(1+\sin (x))
(c) h(x)^{\prime}=-(1+\cos (x)) \sin (x-\cos (x))
(d) h(x)^{\prime}=\cos (x-\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
h(x)=\cos\bigl(x-\cos(x)\bigr).
Foram dadas quatro alternativas com possíveis expressões para h'(x). O objetivo é calcular h'(x) passo a passo e identificar qual alternativa corresponde à derivada correta.

Passo 2

Relembrando a ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte. Se uma função h é composta, isto é, se
h(x)=F\bigl(u(x)\bigr),
onde F é uma função externa e u é a função interna, então a derivada de h é
h'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • F' é a derivada da função externa F em relação à sua variável.
  • u'(x) é a derivada da função interna u em relação a x.
    Em palavras: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da interna.
Também vamos precisar da derivada da função cosseno: para qualquer variável t,
\frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
Isso significa que ao derivar \cos(\cdot) aparece um sinal negativo e um \sin da mesma entrada.

Passo 3

Identificar a função externa e a interna no nosso caso. Podemos escrever
h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\quad\text{com}\quad u(x)=x-\cos(x).
Aqui:
  • A função externa é F(t)=\cos(t).
  • A função interna é u(x)=x-\cos(x).
Agora vamos calcular u'(x) passo a passo. Derivando termo a termo:
u(x)=x-\cos(x).
A derivada de x é 1, ou seja \dfrac{d}{dx}x=1. A derivada de -\cos(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=-\frac{d}{dx}\cos(x)=-\bigl(-\sin(x)\bigr)=\sin(x).
Portanto
u'(x)=1+\sin(x).
(Resumo: derivada de -\cos(x) +\sin(x), por isso aparece 1+\sin(x).)

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia à função h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr). Usando F'(t)=-\sin(t) e multiplicando por u'(x),
h'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot\bigl(1+\sin(x)\bigr).
Substituindo u(x)=x-\cos(x) de volta,
h'(x)=-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\bigl(1+\sin(x)\bigr).

Passo 5

A expressão final obtida para a derivada é
h'(x)=-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\bigl(1+\sin(x)\bigr).
Esta é a forma simplificada e correta do resultado.

Resposta

(b)

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