Assinale a função segunda derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a segunda derivada
. As opções fornecidas são:
(a) \n
(b) \n
(c) \n
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
O que se pede: calcular
e identificar qual alternativa coincide com o resultado.
Passo 2
Vamos começar substituindo uma função interna para organizar os passos. Defina
Então podemos escrever
Para calcular derivadas de uma composição como
usamos a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação rápida): se
, então
Aqui
e
. Como
, temos
Passo 3
Agora calculamos
. Pela definição
. Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Substituindo
em
obtemos a primeira derivada explicitamente:
Isso é um produto de duas funções:
e
. Para obter a segunda derivada vamos aplicar a regra do produto. Regra do produto (explicação rápida): se
, então
Passo 5
Calcule
. Lembremos que
com
. Aplicando novamente a regra da cadeia:
Já sabemos que
, logo
Passo 6
Calcule
. Como
,
Passo 7
Agora use a regra do produto para
:
Substituindo
,
,
e
obtidos:
Passo 8
Simplificando o primeiro termo (multiplicando
):
Esse é o resultado final da segunda derivada.
Resposta
(c)