Assinale a função segunda derivada de h(x)=\cos (x-\cos (x)) :
(a) h^{\prime \prime}(x)=-\cos (x-\cos (x))-\sin (x-\cos (x)) \cos x
(b) h^{\prime \prime}(x)=\cos (x-\cos (x))(1+\sin x)^{2}-\sin (x-\cos (x)) \cos x
(c) h^{\prime \prime}(x)=-\cos (x-\cos (x))(1+\sin x)^{2}-\sin (x-\cos (x)) \cos x
(d) h^{\prime \prime}(x)=-\sin (x-\cos (x))(1+\sin x)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\cos\bigl(x-\cos(x)\bigr) e pede a segunda derivada h''(x). As opções fornecidas são:
(a) \,h''(x)=-\cos\bigl(x-\cos(x)\bigr)-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\cos x\n
(b) \,h''(x)=\cos\bigl(x-\cos(x)\bigr)\bigl(1+\sin x\bigr)^{2}-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\cos x\n
(c) \,h''(x)=-\cos\bigl(x-\cos(x)\bigr)\bigl(1+\sin x\bigr)^{2}-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\cos x\n
(d) \,h''(x)=-\sin\bigl(x-\cos(x)\bigr)\bigl(1+\sin x\bigr).
O que se pede: calcular h''(x) e identificar qual alternativa coincide com o resultado.

Passo 2

Vamos começar substituindo uma função interna para organizar os passos. Defina
u(x)=x-\cos x.
Então podemos escrever
h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Para calcular derivadas de uma composição como \cos(u(x)) usamos a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação rápida): se H(x)=F(G(x)), então
H'(x)=F'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
Aqui F(t)=\cos t e G(x)=u(x). Como F'(t)=-\sin t, temos
h'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Pela definição u(x)=x-\cos x. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=-\bigl(-\sin x\bigr)=\sin x.
Portanto
u'(x)=1+\sin x.

Passo 4

Substituindo u'(x) em h'(x) obtemos a primeira derivada explicitamente:
h'(x) = -\sin\bigl(x-\cos x\bigr)\cdot\bigl(1+\sin x\bigr).
Isso é um produto de duas funções: A(x)=-\sin\bigl(x-\cos x\bigr) e B(x)=1+\sin x. Para obter a segunda derivada vamos aplicar a regra do produto. Regra do produto (explicação rápida): se Y(x)=A(x)B(x), então
Y'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).

Passo 5

Calcule A'(x). Lembremos que A(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr) com u(x)=x-\cos x. Aplicando novamente a regra da cadeia:
A'(x) = -\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Já sabemos que u'(x)=1+\sin x, logo
A'(x) = -\cos\bigl(x-\cos x\bigr)\cdot\bigl(1+\sin x\bigr).

Passo 6

Calcule B'(x). Como B(x)=1+\sin x,
B'(x)=\cos x.

Passo 7

Agora use a regra do produto para h''(x)=\bigl(A(x)B(x)\bigr)':
h''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Substituindo A'(x), A(x), B(x) e B'(x) obtidos:
h''(x)=\bigl[-\cos\bigl(x-\cos x\bigr)\cdot\bigl(1+\sin x\bigr)\bigr]\cdot\bigl(1+\sin x\bigr) \;+\; \bigl[-\sin\bigl(x-\cos x\bigr)\bigr]\cdot\cos x.

Passo 8

Simplificando o primeiro termo (multiplicando \bigl(1+\sin x\bigr)\cdot\bigl(1+\sin x\bigr)):
h''(x) = -\cos\bigl(x-\cos x\bigr)\bigl(1+\sin x\bigr)^{2} - \sin\bigl(x-\cos x\bigr)\cos x.
Esse é o resultado final da segunda derivada.

Resposta

(c)

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