Assinale a função segunda derivada de f(x)=\cos ^{2}\left(x^{2}\right) :
(a) f^{\prime \prime}(x)=-4 x \cos \left(x^{2}\right) \sin \left(x^{2}\right)
(b) f^{\prime \prime}(x)=-2 \sin \left(2 x^{2}\right)-4 x^{2} \cos \left(2 x^{2}\right)
(c) f^{\prime \prime}(x)=-2 \sin \left(2 x^{2}\right)-8 x^{2} \cos \left(2 x^{2}\right)
(d) f^{\prime \prime}(x)=-8 x^{2} \sin \left(2 x^{2}\right)-2 \cos \left(2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=\cos^{2}\!\bigl(x^{2}\bigr). As informações dadas são:
  • A função cuja derivada precisa ser encontrada é f(x)=\cos^{2}\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • O enunciado oferece quatro alternativas (a), (b), (c) e (d) entre as quais uma é correta.

Passo 2

Vamos organizar a função escrevendo-a como uma composição óbvia para aplicar regras de derivação sem erro. Defino
u(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr), \qquad f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.
Isto deixa claro que f é o quadrado de uma função u. Antes de derivar, listo duas regras que vou usar (com explicação simples):
  • Regra da derivada de potência (caso composto): se f(x)=(u(x))^{2} então
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x).
  • Regra da cadeia (explicação): se u(x)=\cos(v(x)) então
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa (aqui \cos) avaliando-a na interna e multiplica-se pela derivada da função interna v(x).
Também usarei essa identidade trigonométrica útil (que facilita simplificar produtos de seno e cosseno):
\sin(2t)=2\sin t\cos t.

Passo 3

Primeira derivada f'(x). Aplicando a regra da potência composta:
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\!\left[\cos\bigl(x^{2}\bigr)\right].
Agora calcule u'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos\bigl(x^{2}\bigr). Usando a regra da cadeia com v(x)=x^{2}:
u'(x)=-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = -2x\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Substituindo em f'(x):
f'(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(-2x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\bigr) = -4x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Podemos simplificar usando a identidade \sin(2t)=2\sin t\cos t. Tomando t=x^{2},
\cos\bigl(x^{2}\bigr)\sin\bigl(x^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\sin\bigl(2x^{2}\bigr).
Logo
f'(x)=-4x\cdot \tfrac{1}{2}\sin\bigl(2x^{2}\bigr) = -2x\sin\bigl(2x^{2}\bigr).

Passo 4

Segunda derivada f''(x). A expressão mais simples para derivar é
f'(x)=-2x\sin\bigl(2x^{2}\bigr).
Isto é um produto de duas funções: p(x)=-2x e q(x)=\sin\bigl(2x^{2}\bigr). Lembro a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(p(x)q(x)\bigr)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Aqui p'(x)=-2. Agora preciso de q'(x). Aplicando a regra da cadeia a q(x)=\sin\bigl(2x^{2}\bigr): a derivada da função externa \sin é \cos avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna:
q'(x)=\cos\bigl(2x^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr).
A derivada de 2x^{2} é 4x. Portanto
q'(x)=\cos\bigl(2x^{2}\bigr)\cdot 4x = 4x\cos\bigl(2x^{2}\bigr).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto:
f''(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x) = (-2)\sin\bigl(2x^{2}\bigr) + (-2x)\cdot\bigl(4x\cos\bigl(2x^{2}\bigr)\bigr).
Multiplicando o segundo termo:
(-2x)\cdot(4x\cos(2x^{2})) = -8x^{2}\cos\bigl(2x^{2}\bigr).
Assim obtenho a forma final:
f''(x) = -2\sin\bigl(2x^{2}\bigr) - 8x^{2}\cos\bigl(2x^{2}\bigr).

Resposta

(c)

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