Assinale a função segunda derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a segunda derivada de
. As informações dadas são:
- A função cuja derivada precisa ser encontrada é
. - O enunciado oferece quatro alternativas (a), (b), (c) e (d) entre as quais uma é correta.
Passo 2
Vamos organizar a função escrevendo-a como uma composição óbvia para aplicar regras de derivação sem erro. Defino
Isto deixa claro que
é o quadrado de uma função
. Antes de derivar, listo duas regras que vou usar (com explicação simples):
- Regra da derivada de potência (caso composto): se
então
Aqui
é a derivada da função interna
.
- Regra da cadeia (explicação): se
então
Ou seja, deriva-se a função externa (aqui
) avaliando-a na interna e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Também usarei essa identidade trigonométrica útil (que facilita simplificar produtos de seno e cosseno):
Passo 3
Primeira derivada
. Aplicando a regra da potência composta:
Agora calcule
. Usando a regra da cadeia com
:
Substituindo em
:
Podemos simplificar usando a identidade
. Tomando
,
Logo
Passo 4
Segunda derivada
. A expressão mais simples para derivar é
Isto é um produto de duas funções:
e
. Lembro a regra do produto:
Aqui
. Agora preciso de
. Aplicando a regra da cadeia a
: a derivada da função externa
é
avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna:
A derivada de
é
. Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra do produto:
Multiplicando o segundo termo:
Assim obtenho a forma final:
Resposta
(c)