Assinale a função segunda derivada de h(x)=\sin ^{2}(x) :
(a) h^{\prime \prime}(x)=2 \cos ^{2}(x)-2 \sin (x)
(b) h^{\prime \prime}(x)=2 \sin (2 x)
(c) h^{\prime \prime}(x)=2 \cos ^{2}(x)
(d) h^{\prime \prime}(x)=2 \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\sin^{2}(x) e pede para assinalar qual das alternativas é a segunda derivada h^{\prime\prime}(x). As alternativas são:
(a) h^{\prime\prime}(x)=2 \cos^{2}(x)-2 \sin(x)
(b) h^{\prime\prime}(x)=2 \sin(2x)
(c) h^{\prime\prime}(x)=2 \cos^{2}(x)
(d) h^{\prime\prime}(x)=2 \cos(2x)

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada h'(x). Use a regra da cadeia para potências: se H(x)=\big(u(x)\big)^{n} então
H'(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui u(x)=\sin x e n=2. A derivada de \sin x é \cos x. Aplicando a regra obtemos
h'(x)=2\sin x\cdot\cos x.

Passo 3

Simplificando h'(x) usando a identidade trigonométrica
2\sin x\cos x=\sin(2x),
temos
h'(x)=\sin(2x).

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada h''(x) diferenciando h'(x)=\sin(2x). Aplicamos a regra da cadeia novamente: se v(x)=\sin\big(u(x)\big) então v'(x)=\cos\big(u(x)\big)\,u'(x). Aqui u(x)=2x e u'(x)=2. Portanto
h''(x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).

Passo 5

Verificação alternativa rápida (checar por segurança): usar a identidade \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}. Diferenciando:
h'(x)=\frac{1}{2}\cdot\big(0+2\sin(2x)\big)=\sin(2x),
e diferenciando de novo obtém-se h''(x)=2\cos(2x), mesma resposta.

Resposta

(d) h''(x)=2\cos(2x)

Exercícios relacionados