Assinale a função segunda derivada de s(x)=x^{2} \sin (x) :
(a) s^{\prime \prime}(x)=2 \sin (x)+2 x \cos (x)-x^{2} \sin (x)
(b) s^{\prime \prime}(x)=4 x \sin (x)+2 \cos (x)-x^{2} \sin (x)
(c) s^{\prime \prime}(x)=2 \sin (x)+4 x \cos (x)-x^{2} \sin (x)
(d) s^{\prime \prime}(x)=2 \cos (x)+4 x \sin (x)-x^{2} \cos (x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se a segunda derivada da função s(x)=x^{2}\sin(x).
  • São oferecidas quatro alternativas (a), (b), (c) e (d) contendo possíveis expressões para s''(x).
    Vou calcular a derivada duas vezes e comparar com as alternativas para escolher a correta.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicações bem diretas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v.
  • Derivadas básicas que aparecerão:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para obter a primeira derivada. Tome
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\sin(x).
Então u'(x)=2x e v'(x)=\cos(x). Pela regra do produto:
s'(x)=u'v+uv' = 2x\sin(x) + x^{2}\cos(x).

Passo 4

Agora diferenciamos s'(x) termo a termo para obter s''(x). Primeiro, derive o termo 2x\sin(x).
Use a regra do produto com a(x)=2x e b(x)=\sin(x). Então a'(x)=2 e b'(x)=\cos(x). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(2x\sin(x)\bigr)=a'b+ab' = 2\sin(x) + 2x\cos(x).

Passo 5

Agora derive o termo x^{2}\cos(x). Use a vez a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=\cos(x). Temos u'(x)=2x e v'(x)=-\sin(x). Assim
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\cos(x)\bigr)=u'v+uv' = 2x\cos(x) + x^{2}\bigl(-\sin(x)\bigr)=2x\cos(x)-x^{2}\sin(x).

Passo 6

Some os resultados dos Passos 4 e 5 para obter s''(x):
s''(x)=\bigl(2\sin(x)+2x\cos(x)\bigr)+\bigl(2x\cos(x)-x^{2}\sin(x)\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
s''(x)=2\sin(x)+4x\cos(x)-x^{2}\sin(x).

Resposta

(c)

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