Assinale a função segunda derivada de g(x)=\sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) :
(a) g^{\prime \prime}(x)=-2 \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)-4 x^{2} \cos \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)-4 x^{2} \sin ^{2}\left(x^{2}\right) \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(b) g^{\prime \prime}(x)=2 \sin \left(x^{2}\right) \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(c) g^{\prime \prime}(x)=-4 x^{2} \cos \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(d) g^{\prime \prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função g e fornece a própria função. Informações e o que é pedido:
  • Função dada: g(x)=\sin\big(\cos\big(x^{2}\big)\big).
  • Pedido: calcular g^{\prime\prime}(x), a segunda derivada de g.
  • Alternativas fornecidas:
    (a) \displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-2 \sin \big(x^{2}\big) \cos \big(\cos \big(x^{2}\big)\big)-4 x^{2} \cos \big(x^{2}\big) \cos \big(\cos \big(x^{2}\big)\big)-4 x^{2} \sin^{2}\big(x^{2}\big) \sin \big(\cos \big(x^{2}\big)\big)
    (b) \displaystyle g^{\prime\prime}(x)=2 \sin \big(x^{2}\big) \sin \big(\cos \big(x^{2}\big)\big)
    (c) \displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-4 x^{2} \cos \big(x^{2}\big) \cos \big(\cos \big(x^{2}\big)\big)
    (d) \displaystyle g^{\prime\prime}(x)=-2 x \sin \big(x^{2}\big) \cos \big(\cos \big(x^{2}\big)\big).

Passo 2

Vamos calcular g'(x) usando a regra da cadeia. Lembrete da regra da cadeia: se \displaystyle f(x)=F(H(x)), então
f'(x)=F'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
Aqui temos uma composição tripla: g(x)=\sin\big(\underbrace{\cos\big(x^{2}\big)}_{:=u(x)}\big). Aplicando a regra da cadeia em dois passos:
  • Primeiro, derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u).
  • Depois, derivada de u(x)=\cos\big(x^{2}\big) em relação a x é -\sin\big(x^{2}\big)\cdot 2x (novamente regra da cadeia: derivada de \cos(v) é -\sin(v)\cdot v', com v=x^{2} e v'=2x).
Portanto:
g'(x)=\cos\big(\cos(x^{2})\big)\cdot\big(-\sin(x^{2})\cdot 2x\big).

Passo 3

Simplificando o produto acima:
g'(x)=-2x\,\sin\big(x^{2}\big)\,\cos\big(\cos(x^{2})\big).
Comentário curto: a derivada ficou como produto de três fatores -2x, \sin(x^{2}) e \cos(\cos(x^{2})). Na hora de derivar de novo, usaremos a regra do produto (para três fatores).

Passo 4

Lembrete da regra do produto para três fatores A(x)B(x)C(x):
\big(ABC\big)'=A'BC+AB'C+ABC'.
Aqui identificamos:
A(x)=-2x,\qquad B(x)=\sin\big(x^{2}\big),\qquad C(x)=\cos\big(\cos(x^{2})\big).
Vamos calcular A'(x), B'(x) e C'(x) separadamente.

Passo 5

Derivadas dos fatores:
  • Para A(x)=-2x temos
A'(x)=-2.
  • Para B(x)=\sin\big(x^{2}\big), aplicando regra da cadeia (derivada de \sin(v) é \cos(v)\cdot v' com v=x^{2} e v'=2x):
B'(x)=\cos\big(x^{2}\big)\cdot 2x=2x\cos\big(x^{2}\big).
  • Para C(x)=\cos\big(\cos(x^{2})\big), aplicar duas cadeias: derivada de \cos(w) é -\sin(w)\cdot w', com w=\cos(x^{2}). Então
C'(x)=-\sin\big(\cos(x^{2})\big)\cdot\big(\cos(x^{2})\big)'\!.
Mas \big(\cos(x^{2})\big)'=-\sin(x^{2})\cdot 2x. Logo
C'(x)=-\sin\big(\cos(x^{2})\big)\cdot\big(-2x\sin(x^{2})\big)=2x\sin(x^{2})\sin\big(\cos(x^{2})\big).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto para obter g''(x):
g''(x)=A'B C + A B' C + A B C'.
Substituindo cada peça que calculamos:
\begin{aligned} g''(x) &=\big(-2\big)\cdot\sin\big(x^{2}\big)\cdot\cos\big(\cos(x^{2})\big)\\[4pt] &\quad +\big(-2x\big)\cdot\big(2x\cos\big(x^{2}\big)\big)\cdot\cos\big(\cos(x^{2})\big)\\[4pt] &\quad +\big(-2x\big)\cdot\sin\big(x^{2}\big)\cdot\big(2x\sin(x^{2})\sin\big(\cos(x^{2})\big)\big). \end{aligned}]

Passo 7

Agora simplificamos cada termo:
  • Primeiro termo: -2\sin(x^{2})\cos(\cos(x^{2})).
  • Segundo termo: (-2x)(2x\cos(x^{2}))\cos(\cos(x^{2}))=-4x^{2}\cos(x^{2})\cos(\cos(x^{2})).
  • Terceiro termo: (-2x)(2x\sin(x^{2}))\sin(\cos(x^{2}))=-4x^{2}\sin^{2}(x^{2})\sin(\cos(x^{2})).
Somando os três termos:
\begin{aligned} g''(x)&=-2\sin\big(x^{2}\big)\cos\big(\cos(x^{2})\big)\\[4pt] &\quad -4x^{2}\cos\big(x^{2}\big)\cos\big(\cos(x^{2})\big)\\[4pt] &\quad -4x^{2}\sin^{2}\big(x^{2}\big)\sin\big(\cos(x^{2})\big). \end{aligned}]

Passo 8

Comparando a expressão obtida com as alternativas dadas, vemos que ela coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

(a)

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