Assinale a função derivada de s(x)=\cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right) :
(a) s^{\prime}(x)=-\left(\sin \left(x^{2}\right)+2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)\right) \sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(b) s^{\prime}(x)=-\left(1+2 x^{2}\right) \sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(c) s^{\prime}(x)=\sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(d) s^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função s(x)=\cos\!\big(x\sin(x^{2})\big) e pede para assinalar a derivada correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d). Vou listar as alternativas (copiadas do enunciado):
(a) s^{\prime}(x)=-\left(\sin \left(x^{2}\right)+2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)\right) \sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(b) s^{\prime}(x)=-\left(1+2 x^{2}\right) \sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(c) s^{\prime}(x)=\sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)
(d) s^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right).
O que se pede: calcular s^{\prime}(x) e comparar com as alternativas.

Passo 2

Identificar a estrutura da função para aplicar regras de derivação. Aqui s(x) é uma composição: \cos aplicada à função interna u(x)=x\sin(x^{2}). A regra geral (regra da cadeia) para derivar uma composição \cos(u(x)) é:
\frac{d}{dx}\big(\cos(u(x))\big) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando: primeiro deriva-se a função externa \cos(\cdot), que dá -\sin(\cdot), e depois multiplica-se pelo derivado da função interna u'(x).

Passo 3

Definir explicitamente a função interna e calcular sua derivada:
u(x)=x\sin(x^{2}).
Perceba que u(x) é produto de duas funções: v(x)=x e w(x)=\sin(x^{2}). Para derivar um produto usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(v(x)w(x)\big)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x).
Aqui v'(x)=1. Restou calcular w'(x).

Passo 4

Calcular w'(x) onde w(x)=\sin(x^{2}). Novamente é uma composição: \sin de x^{2}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\sin(x^{2})\big)=\cos(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2}).
Portanto w'(x)=2x\cos(x^{2}).

Passo 5

Voltar ao cálculo de u'(x) usando a regra do produto:
u'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x)=1\cdot\sin(x^{2})+x\cdot\big(2x\cos(x^{2})\big).
Simplificando:
u'(x)=\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2}).

Passo 6

Agora aplicar a regra da cadeia para obter s'(x). Lembrando que s(x)=\cos(u(x)), temos:
s'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x\sin(x^{2}) e u'(x)=\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2}):
s'(x)=-\big(\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})\big)\,\sin\big(x\sin(x^{2})\big).

Resposta

(a)

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