Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para assinalar a derivada correta entre as alternativas (a), (b), (c) e (d). Vou listar as alternativas (copiadas do enunciado):
(a)
(b)
(c)
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
O que se pede: calcular
e comparar com as alternativas.
Passo 2
Identificar a estrutura da função para aplicar regras de derivação. Aqui
é uma composição:
aplicada à função interna
. A regra geral (regra da cadeia) para derivar uma composição
é:
Explicando: primeiro deriva-se a função externa
, que dá
, e depois multiplica-se pelo derivado da função interna
.
Passo 3
Definir explicitamente a função interna e calcular sua derivada:
Perceba que
é produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Aqui
. Restou calcular
.
Passo 4
Calcular
onde
. Novamente é uma composição:
de
. Pela regra da cadeia:
Portanto
.
Passo 5
Voltar ao cálculo de
usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora aplicar a regra da cadeia para obter
. Lembrando que
, temos:
Substituindo
e
:
Resposta
(a)