Assinale a opção que apresenta corretamente o número real correspondente ao quociente entre as duas dízimas periódicas a seguir.
\frac{6,484848 \ldots}{2,020202 \ldots}
(A) 3,212121 \ldots
(B) 3,21
(C) 3,24
(D) 3,242424 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual opção apresenta corretamente o número real correspondente ao quociente entre as duas dízimas periódicas:
\frac{6,4848\ldots}{2,020202\ldots}
As opções são:
(A) 3,212121\ldots
(B) 3,21
(C) 3,24
(D) 3,242424\ldots

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática): converter cada dízima periódica numa fração e então dividir as frações.
Conceito rápido sobre dízima periódica: uma dízima periódica é um número decimal cujo padrão de algarismos se repete infinitamente. Para transformar uma dízima periódica em fração, coloca-se o número como x, multiplica-se por 10^k onde k é o período (número de algarismos que se repetem), e subtrai-se para eliminar a parte periódica. Assim obtemos uma equação linear em x que permite achar a fração.
Exemplo curto para entender o método antes de aplicar: para \,0,333\ldots (período 1) toma-se x=0,333\ldots, 10x=3,333\ldots, subtrai-se 9x=3 e obtém-se x=3/9=1/3.

Passo 3

Converter o numerador \,6,4848\ldots em fração.
Defina x como:
x = 6,4848\ldots
O período é de 2 algarismos ( 48), então multiplica-se por 10^2=100:
100x = 648,4848\ldots
Agora subtrai-se x de 100x para eliminar a parte periódica:
100x - x = 648,4848\ldots - 6,4848\ldots
99x = 642
Logo
x = \frac{642}{99}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
x = \frac{214}{33}.
Portanto 6,4848\ldots = \dfrac{214}{33}.

Passo 4

Converter o denominador \,2,020202\ldots em fração.
Defina y como:
y = 2,020202\ldots
O período é de 2 algarismos ( 02), então multiplica-se por 100:
100y = 202,020202\ldots
Subtraindo y de 100y:
100y - y = 202,0202\ldots - 2,0202\ldots
99y = 200
Logo
y = \frac{200}{99}.
Portanto 2,020202\ldots = \dfrac{200}{99}.

Passo 5

Agora calculamos o quociente:
\frac{6,4848\ldots}{2,020202\ldots} = \frac{\dfrac{214}{33}}{\dfrac{200}{99}}.
Dividir frações é multiplicar pela inversa:
\frac{214}{33}\cdot\frac{99}{200}.
Simplifique antes de multiplicar: \dfrac{99}{33}=3, então
\frac{214}{33}\cdot\frac{99}{200} = \frac{214\cdot 3}{200} = \frac{642}{200}.
Simplificando dividindo por 2:
\frac{642}{200} = \frac{321}{100}.
Como fração com denominador 100 é decimal com duas casas:
\frac{321}{100} = 3,21.

Passo 6

Comparando com as opções dadas, o resultado obtido é exatamente 3,21, que corresponde à opção (B). As outras opções têm repetição diferente ( 3,212121\ldots ou 3,242424\ldots) ou outro valor ( 3,24), portanto estão incorretas.

Resposta

(B) 3,21

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