Assinale a opção que corresponde ao coeficiente do termo correspondente à potência
da expansão de
.
(A)
(B)
(C)
(D) 6.336
(E) 71.280
(A)
(B)
(C)
(D) 6.336
(E) 71.280
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o coeficiente do termo correspondente à potência
na expansão de
.
Informações dadas:
- A expressão a expandir é
. - Quer-se o coeficiente do termo com
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula do teorema multinomial (uma generalização do binômio). Para uma soma de três termos
, o termo geral é obtido escolhendo inteiros não negativos
tais que
e é dado por
Aqui fazemos a correspondência
No termo geral, a potência de
será a soma das potências vindas de
e
. Como
contém
e
contém
, a potência de
no termo geral é
Queremos aqueles termos com
e
inteiros com
.
Passo 3
Resolver as condições. De
segue
. Substituindo
(da condição
) temos
Como
, obtém-se
. Também
implica
, logo
inteiro só pode ser
ou
. Vamos tratar as duas possibilidades separadamente.
Passo 4
Caso
:
- Então
. - E
. - O coeficiente multinomial é
- Os fatores numéricos dos termos são
pois
.
- Multiplicando tudo:
Portanto a contribuição deste caso para o coeficiente de
é
.
Passo 5
Caso
:
- Então
. - E
. - O coeficiente multinomial é
- Os fatores numéricos:
- Multiplicando:
Portanto a contribuição deste caso é
.
Passo 6
Somando as contribuições dos dois casos que geram
:
Portanto o coeficiente do termo
na expansão é
.
Resposta
(A)