Assinale a opção que corresponde ao coeficiente do termo correspondente à potência x^{9} da expansão de \left(2 x^{2}-2 \sqrt{6} x+3\right)^{6}.
(A) -10.560 \sqrt{6}
(B) -384 \sqrt{6}
(C) -57.024 \sqrt{6}
(D) 6.336
(E) 71.280

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o coeficiente do termo correspondente à potência \,x^{9}\, na expansão de \left(2 x^{2}-2 \sqrt{6} x+3\right)^{6}.
Informações dadas:
  • A expressão a expandir é \left(2 x^{2}-2 \sqrt{6} x+3\right)^{6}.
  • Quer-se o coeficiente do termo com x^{9}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do teorema multinomial (uma generalização do binômio). Para uma soma de três termos (A+B+C)^{6}, o termo geral é obtido escolhendo inteiros não negativos a,b,c tais que a+b+c=6 e é dado por
\frac{6!}{a!\,b!\,c!}\; A^{a}\,B^{b}\,C^{c}.
Aqui fazemos a correspondência
A = 2 x^{2},\qquad B = -2\sqrt{6}\,x,\qquad C = 3.
No termo geral, a potência de x será a soma das potências vindas de A^{a} e B^{b}. Como A contém x^{2} e B contém x^{1}, a potência de x no termo geral é
\text{expoente de }x = 2a + b.
Queremos aqueles termos com 2a+b=9 e a,b,c\ge0 inteiros com a+b+c=6.

Passo 3

Resolver as condições. De a+b+c=6 segue c=6-a-b. Substituindo b=9-2a (da condição 2a+b=9) temos
c = 6-a-(9-2a)=a-3.
Como c\ge0, obtém-se a\ge3. Também b=9-2a\ge0 implica a\le4{,}5, logo a inteiro só pode ser a=3 ou a=4. Vamos tratar as duas possibilidades separadamente.

Passo 4

Caso a=3:
  • Então b=9-2\cdot3=3.
  • E c=6-3-3=0.
  • O coeficiente multinomial é
\frac{6!}{3!\,3!\,0!}=\frac{720}{6\cdot6}=20.
  • Os fatores numéricos dos termos são
(2x^{2})^{3} = 2^{3} x^{6} = 8 x^{6},
(-2\sqrt{6}\,x)^{3} = (-2)^{3} (\sqrt{6})^{3} x^{3} = -8\cdot 6\sqrt{6}\;x^{3} = -48\sqrt{6}\;x^{3},
pois (\sqrt{6})^{3} = 6\sqrt{6}.
  • Multiplicando tudo:
20 \times 8 x^{6} \times (-48\sqrt{6}\,x^{3}) = 20 \times (-384\sqrt{6})\,x^{9} = -7680\sqrt{6}\;x^{9}.
Portanto a contribuição deste caso para o coeficiente de x^{9} é -7680\sqrt{6}.

Passo 5

Caso a=4:
  • Então b=9-2\cdot4=1.
  • E c=6-4-1=1.
  • O coeficiente multinomial é
\frac{6!}{4!\,1!\,1!}=\frac{720}{24}=30.
  • Os fatores numéricos:
(2x^{2})^{4} = 2^{4} x^{8} = 16 x^{8},
(-2\sqrt{6}\,x)^{1} = -2\sqrt{6}\,x,
3^{1}=3.
  • Multiplicando:
30 \times 16 x^{8} \times (-2\sqrt{6}\,x) \times 3 =30 \times (16\cdot -2\cdot 3)\sqrt{6}\;x^{9} =30 \times (-96)\sqrt{6}\;x^{9} = -2880\sqrt{6}\;x^{9}.
Portanto a contribuição deste caso é -2880\sqrt{6}.

Passo 6

Somando as contribuições dos dois casos que geram x^{9}:
-7680\sqrt{6} + (-2880\sqrt{6}) = -10560\sqrt{6}.
Portanto o coeficiente do termo \,x^{9}\, na expansão é -10560\sqrt{6}.

Resposta

(A) -10560 \sqrt{6}

Exercícios relacionados