Suponha que
e
sejam funções deriváveis de
e que
,
,
,
Encontre os valores das derivadas a seguir em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todos os números retirados do enunciado):
O que é pedido:
- Calcular o valor em
da derivada .
Passo 2
Vamos entender exatamente o que significa pedir
em
. Isto é: primeiro derivar a função composta
em termos de
e
, e depois avaliar o resultado no ponto
.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada de forma didática):
- A derivada é linear: a derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas.
- A regra do fator constante: ao derivar uma função multiplicada por uma constante, a constante sai multiplicando a derivada da função.
Em fórmulas:
onde
e
são constantes reais,
e
são funções diferenciáveis, e
,
indicam suas derivadas.
Comentário amigo: isso significa que podemos “puxar” os números
e
para fora da derivada e simplesmente derivar
e
.
Passo 4
Aplicando a regra linear ao nosso caso:
Essa é uma expressão geral válida para todo
.
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão em
. Para isso usamos os valores dados no enunciado:
e
. Substituindo:
Passo 6
Fazendo a conta numérica:
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo: o procedimento foi simples porque a derivada distribui sobre soma e fator constante. Você conseguiu — o resultado é um número direto, então na prova é rápido de calcular.