Suponha que u e v sejam funções deriváveis de x e que
u(1)=2,
u^{\prime}(1)=0,
v(1)=5,
v^{\prime}(1)=-1
Encontre os valores das derivadas a seguir em x=1.
\frac{d}{d x}(7 v-2 u)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todos os números retirados do enunciado):
  • u(1)=2
  • u^{\prime}(1)=0
  • v(1)=5
  • v^{\prime}(1)=-1
O que é pedido:
  • Calcular o valor em x=1 da derivada \dfrac{d}{dx}\bigl(7v-2u\bigr).

Passo 2

Vamos entender exatamente o que significa pedir \dfrac{d}{dx}\bigl(7v-2u\bigr) em x=1. Isto é: primeiro derivar a função composta 7v(x)-2u(x) em termos de u^{\prime} e v^{\prime}, e depois avaliar o resultado no ponto x=1.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada de forma didática):
  • A derivada é linear: a derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas.
  • A regra do fator constante: ao derivar uma função multiplicada por uma constante, a constante sai multiplicando a derivada da função.
Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)=a f'(x) + b g'(x),
onde a e b são constantes reais, f e g são funções diferenciáveis, e f', g' indicam suas derivadas.
Comentário amigo: isso significa que podemos “puxar” os números 7 e -2 para fora da derivada e simplesmente derivar v e u.

Passo 4

Aplicando a regra linear ao nosso caso:
\frac{d}{dx}\bigl(7v-2u\bigr)=7\,v^{\prime}-2\,u^{\prime}.
Essa é uma expressão geral válida para todo x.

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão em x=1. Para isso usamos os valores dados no enunciado: v^{\prime}(1)=-1 e u^{\prime}(1)=0. Substituindo:
\left.\bigl(7\,v^{\prime}-2\,u^{\prime}\bigr)\right|_{x=1}=7\cdot v^{\prime}(1)-2\cdot u^{\prime}(1).

Passo 6

Fazendo a conta numérica:
7\cdot v^{\prime}(1)-2\cdot u^{\prime}(1)=7\cdot(-1)-2\cdot 0=-7-0=-7.

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo: o procedimento foi simples porque a derivada distribui sobre soma e fator constante. Você conseguiu — o resultado é um número direto, então na prova é rápido de calcular.

Resposta

-7

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