Assinale em quantos pontos os polinômios p(x)=x^{3}+x^{2}+x-1 e q(x)=2 x^{3} se tangenciam, sem se cruzar:
(a) infinitos
(b) nenhum
(c) apenas um
(d) apenas dois

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios e pede em quantos pontos eles se tangenciam sem se cruzar. Informações fornecidas:
  • p(x)=x^{3}+x^{2}+x-1.
  • q(x)=2x^{3}.
    A pergunta é: quantos pontos existem onde as curvas de p e q se tocam (tangenciam) mas não se cruzam? As alternativas são: (a) infinitos, (b) nenhum, (c) apenas um, (d) apenas dois.

Passo 2

O que significa “tangenciam, sem se cruzar” de forma prática:
  • Se duas funções p e q se tangenciam em x_0, então elas têm o mesmo valor e a mesma derivada em x_0. Ou seja,
p(x_0)=q(x_0) \qquad\text{e}\qquad p'(x_0)=q'(x_0).
  • Uma maneira conveniente é estudar a diferença
r(x)=p(x)-q(x).
Então p(x_0)=q(x_0) equivale a r(x_0)=0. Além disso, p'(x_0)=q'(x_0) equivale a r'(x_0)=0. Logo pontos de tangência correspondem a raízes de r que também anulam r'.
  • Importante sobre multiplicidade: se r tem uma raiz em x_0 de multiplicidade 2 (ou qualquer multiplicidade par), a curva r toca o eixo x em x_0 sem mudar de sinal — isto é exatamente o caso de tangência sem cruzamento. Se a multiplicidade é 1 (ímpar), a diferença muda de sinal e as curvas se cruzam.

Passo 3

Calcular r(x)=p(x)-q(x):
r(x)=\bigl(x^{3}+x^{2}+x-1\bigr)-2x^{3}=-x^{3}+x^{2}+x-1.
É útil fatorar r(x). Primeiro multiplico por -1 para fatorar mais facilmente:
-r(x)=x^{3}-x^{2}-x+1.
Faço fatoração por agrupamento:
x^{3}-x^{2}-x+1 = x^{2}(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^{2}-1).
E x^{2}-1 é diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Portanto
x^{3}-x^{2}-x+1=(x-1)^{2}(x+1).
Voltando a r(x),
r(x)=-(x-1)^{2}(x+1).

Passo 4

Analisar as raízes e multiplicidades de r:
  • Da fatoração r(x)=-(x-1)^{2}(x+1) vemos que há raízes em x=1 (multiplicidade 2) e x=-1 (multiplicidade 1).
    Pelo que dissemos antes, a raiz de multiplicidade 2 em x=1 indica tangência sem cruzamento nesse ponto; a raiz simples em x=-1 indica cruzamento (mudança de sinal de r).

Passo 5

Confirmar usando derivadas (checagem direta):
Calculo as derivadas
p'(x)=3x^{2}+2x+1,\qquad q'(x)=6x^{2}.
Em x=1:
p'(1)=3+2+1=6,\qquad q'(1)=6\quad\Rightarrow\quad p'(1)=q'(1).
Em x=-1:
p'(-1)=3-2+1=2,\qquad q'(-1)=6\quad\Rightarrow\quad p'(-1)\ne q'(-1).
Isso confirma: em x=1 as funções têm mesmo valor e mesma derivada (tangência), e em x=-1 apenas se cruzam.

Passo 6

Conclusão final e resposta à pergunta: existe exatamente um ponto onde p e q se tangenciam sem se cruzar — o ponto x=1. Mantenha a calma: foi só fatorar direitinho e lembrar que multiplicidade par = toque sem cruzar.

Resposta

(c) apenas um

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