Assinale em quantos pontos os polinômios
e
se tangenciam, sem se cruzar:
(a) infinitos
(b) nenhum
(c) apenas um
(d) apenas dois
(a) infinitos
(b) nenhum
(c) apenas um
(d) apenas dois
Passo 1
O enunciado dá dois polinômios e pede em quantos pontos eles se tangenciam sem se cruzar. Informações fornecidas:
-
. -
.
A pergunta é: quantos pontos existem onde as curvas dee se tocam (tangenciam) mas não se cruzam? As alternativas são: (a) infinitos, (b) nenhum, (c) apenas um, (d) apenas dois.
Passo 2
O que significa “tangenciam, sem se cruzar” de forma prática:
- Se duas funções
e se tangenciam em , então elas têm o mesmo valor e a mesma derivada em . Ou seja,
- Uma maneira conveniente é estudar a diferença
Então
equivale a
. Além disso,
equivale a
. Logo pontos de tangência correspondem a raízes de
que também anulam
.
- Importante sobre multiplicidade: se
tem uma raiz em de multiplicidade (ou qualquer multiplicidade par), a curva toca o eixo em sem mudar de sinal — isto é exatamente o caso de tangência sem cruzamento. Se a multiplicidade é (ímpar), a diferença muda de sinal e as curvas se cruzam.
Passo 3
Calcular
:
É útil fatorar
. Primeiro multiplico por
para fatorar mais facilmente:
Faço fatoração por agrupamento:
E
é diferença de quadrados:
Portanto
Voltando a
,
Passo 4
Analisar as raízes e multiplicidades de
:
- Da fatoração
vemos que há raízes em (multiplicidade ) e (multiplicidade ).
Pelo que dissemos antes, a raiz de multiplicidadeem indica tangência sem cruzamento nesse ponto; a raiz simples em indica cruzamento (mudança de sinal de ).
Passo 5
Confirmar usando derivadas (checagem direta):
Calculo as derivadas
Calculo as derivadas
Em
:
Em
:
Isso confirma: em
as funções têm mesmo valor e mesma derivada (tangência), e em
apenas se cruzam.
Passo 6
Conclusão final e resposta à pergunta: existe exatamente um ponto onde
e
se tangenciam sem se cruzar — o ponto
. Mantenha a calma: foi só fatorar direitinho e lembrar que multiplicidade par = toque sem cruzar.
Resposta
(c) apenas um