João dispõe de R \ 1.500,00 e deseja comprar um celular com este valor. Em uma certa loja ele encontrou o celular que ele deseja. Sendo que na compra à vista ele terá um desconto deàá5 % e na compra a prazo, ele poderá parcelar o valor do celular em 5 prestações mensais com uma taxa de inflação nesse período deáçõçãí2,5 %$ a.m. Qual a melhor opção para João nesse caso?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (retiradas do próprio texto):
  • João dispõe de R\$1.500,00.
  • O celular custa exatamente esse valor: R\$1.500,00.
  • Opção à vista: desconto de 5\%.
  • Opção a prazo: parcelar em 5 prestações mensais (assume-se prestações iguais) e a inflação no período é de 2{,}5\% ao mês.
    A pergunta implícita é: qual opção é melhor para João — pagar à vista com desconto ou pagar parcelado — considerando a inflação dada?

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar e de forma prática): quando há inflação, o dinheiro que se paga no futuro vale menos hoje. Para comparar pagar agora com pagar depois devemos colocar tudo no mesmo “tempo” — normalmente avaliamos o valor presente das prestações, descontando cada pagamento pela taxa de inflação mensal. Se o valor presente (o custo “real” hoje) das prestações for menor que o preço à vista com desconto, então é melhor parcelar; caso contrário, é melhor pagar à vista.
Fórmula necessária (anuidade descontada): se há n prestações iguais de valor A pagas no fim de cada mês, e a taxa de desconto por mês (aqui usamos a inflação) é i, então o valor presente PV é a soma geométrica
PV = A\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}.
Essa soma é uma série geométrica e tem fórmula fechada:
\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Portanto
PV = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada símbolo:
  • A = valor de cada prestação (em reais).
  • i = taxa por período usada para descontar (no problema: inflação de 2{,}5\% ao mês, então i=0{,}025).
  • n = número de prestações (aqui n=5).
    Usamos inflação como taxa de desconto porque queremos comparar em termos de poder de compra presente.

Passo 3

Calcular o preço à vista com desconto 5\%.
Preço original P_0 = R\$1.500,00.
Preço à vista:
P_{\text{vista}} = P_{0}\,(1-0,05)=R\$1.500,00\cdot 0,95 = R\$1.425,00.

Passo 4

Calcular o valor presente das prestações (opção parcelada), passo a passo.
Primeiro o valor de cada prestação:
A=\frac{P_0}{5}=\frac{R\$1.500,00}{5}=R\$300,00.
A taxa mensal de inflação (usada como taxa de desconto) é
i=0,025.
Aplicando a fórmula do valor presente:
PV = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = R\$300,00\cdot\frac{1-(1+0,025)^{-5}}{0,025}.
Calcular (1+0,025)^{5} para obter o inverso:
(1{,}025)^{2}=1{,}050625,
(1{,}025)^{3}=1{,}076890625,
(1{,}025)^{4}=1{,}103812890625,
(1{,}025)^{5}=1{,}131408212890625.
Logo
(1{,}025)^{-5}=\frac{1}{1{,}131408212890625}\approx 0{,}8839\\ (\text{aprox.}).
Continuando:
1-(1{,}025)^{-5}\approx 1-0{,}8839=0{,}1161.
\frac{1-(1{,}025)^{-5}}{0{,}025}\approx \frac{0{,}1161}{0{,}025}\approx 4{,}6446.
PV \approx R\$300,00\cdot 4{,}6446 \approx R\$1.393,40.
(Se quiser ver a soma termo a termo, é a mesma coisa: descontar cada prestação R\$300,00 por 1{,}025^{k} para k=1,\dots,5 e somar; o resultado aproximado coincide com R\$1.393,40.)

Passo 5

Comparação direta e interpretação prática:
  • Preço à vista com desconto: P_{\text{vista}}=R\$1.425,00.
  • Valor presente das prestações (considerando inflação 2{,}5\% a.m.): PV\approx R\$1.393,40.
Como PV<R_{\text{vista}} (isto é, R\$1.393,40 < R\$1.425,00), pagar parcelado é vantajoso do ponto de vista do poder de compra hoje: as prestações, descontadas pela inflação, custam menos em termos reais do que pagar à vista com desconto.
Intuição simples: sem juros nominais, parcelar permite pagar com moeda “menos valiosa” no futuro; a inflação corrói o valor real das prestações, tornando o custo presente menor que o desconto à vista de 5\%.

Resposta

Parcelado é melhor; valor presente aproximado das prestações =\\ R\$1.393,40.
Valor à vista com desconto =\\ R\$1.425,00.

Exercícios relacionados