João dispõe de
1.500,00
5 %
2,5 %$ a.m. Qual a melhor opção para João nesse caso?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (retiradas do próprio texto):
- João dispõe de
. - O celular custa exatamente esse valor:
. - Opção à vista: desconto de
. - Opção a prazo: parcelar em
prestações mensais (assume-se prestações iguais) e a inflação no período é de ao mês.
A pergunta implícita é: qual opção é melhor para João — pagar à vista com desconto ou pagar parcelado — considerando a inflação dada?
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagar e de forma prática): quando há inflação, o dinheiro que se paga no futuro vale menos hoje. Para comparar pagar agora com pagar depois devemos colocar tudo no mesmo “tempo” — normalmente avaliamos o valor presente das prestações, descontando cada pagamento pela taxa de inflação mensal. Se o valor presente (o custo “real” hoje) das prestações for menor que o preço à vista com desconto, então é melhor parcelar; caso contrário, é melhor pagar à vista.
Fórmula necessária (anuidade descontada): se há
prestações iguais de valor
pagas no fim de cada mês, e a taxa de desconto por mês (aqui usamos a inflação) é
, então o valor presente
é a soma geométrica
Essa soma é uma série geométrica e tem fórmula fechada:
Portanto
Explicando cada símbolo:
-
= valor de cada prestação (em reais). -
= taxa por período usada para descontar (no problema: inflação de ao mês, então ). -
= número de prestações (aqui ).
Usamos inflação como taxa de desconto porque queremos comparar em termos de poder de compra presente.
Passo 3
Calcular o preço à vista com desconto
.
Preço original
.
Preço à vista:
Preço à vista:
Passo 4
Calcular o valor presente das prestações (opção parcelada), passo a passo.
Primeiro o valor de cada prestação:
A taxa mensal de inflação (usada como taxa de desconto) é
Aplicando a fórmula do valor presente:
Calcular
para obter o inverso:
Logo
Continuando:
(Se quiser ver a soma termo a termo, é a mesma coisa: descontar cada prestação
por
para
e somar; o resultado aproximado coincide com
.)
Passo 5
Comparação direta e interpretação prática:
- Preço à vista com desconto:
- Valor presente das prestações (considerando inflação
a.m.):
Como
(isto é,
), pagar parcelado é vantajoso do ponto de vista do poder de compra hoje: as prestações, descontadas pela inflação, custam menos em termos reais do que pagar à vista com desconto.
Intuição simples: sem juros nominais, parcelar permite pagar com moeda “menos valiosa” no futuro; a inflação corrói o valor real das prestações, tornando o custo presente menor que o desconto à vista de
.
Resposta
Parcelado é melhor; valor presente aproximado das prestações
.
Valor à vista com desconto .
Valor à vista com desconto