Considere dois tipos de investimentos: o primeiro paga uma taxa de juros simples de 5 \% a.m e o segundo uma taxa de juros composto de 2 \% a.m. Ao fazermos dois depósitos de R \ 1.000,00$ reais, um em cada um desse tipos de investimentos, qual apresentará um maior retorno após um período de dez anos?

Passo 1

O enunciado dá duas opções de investimento e pede para comparar os retornos após dez anos, com um depósito de R\$\,1.000,00 em cada:
  • Depósito em investimento com juros simples de 5\% ao mês.
  • Depósito em investimento com juros compostos de 2\% ao mês.
Informações extraídas e fixas:
  • Valor principal de cada depósito: P=R\$\,1.000,00.
  • Taxa de juros no investimento simples: i_s=0,05 (por mês).
  • Taxa de juros no investimento composto: i_c=0,02 (por mês).
  • Período: dez anos. Como a taxa é mensal, converte-se para meses: n=10\\ \text{anos}\times 12\\ \text{meses/ano}=120\\ \text{meses}.
O que se pede: determinar qual investimento apresenta maior retorno após n=120 meses e calcular os montantes finais.

Passo 2

Relembrando a fórmula de juros simples (aula curta e prática):
  • Juros simples significa que os juros de cada período são calculados sobre o valor inicial P e não se incorporam ao principal.
  • Fórmula do montante (valor final) em juros simples:
A_s = P\,(1 + i_s\,n)
onde
  • A_s é o montante final no regime de juros simples,
  • P é o capital inicial (aqui R\$\,1.000,00),
  • i_s é a taxa por período (aqui 0,05),
  • n é o número de períodos (aqui 120).
Aplicando ao nosso caso:
A_s = 1000\,(1 + 0,05\cdot 120).
Calcule passo a passo:
0,05\cdot 120 = 6,
1 + 6 = 7,
A_s = 1000\cdot 7 = 7000.
Portanto o montante do investimento em juros simples após 10 anos é R\$\,7.000,00.

Passo 3

Relembrando a fórmula de juros compostos (aula curta e prática):
  • Juros compostos significam que, a cada período, os juros gerados são incorporados ao capital e também rendem juros nos períodos seguintes.
  • Fórmula do montante em juros compostos:
A_c = P\,(1 + i_c)^{n}
onde
  • A_c é o montante final no regime composto,
  • P é o capital inicial (aqui R\$\,1.000,00),
  • i_c é a taxa por período (aqui 0,02),
  • n é o número de períodos (aqui 120).
No nosso caso:
A_c = 1000\,(1{,}02)^{120}.

Passo 4

Vamos aproximar numericamente (1{,}02)^{120} de uma forma que dá para fazer “na caneta” sem calculadora exata (método prático e didático):
  1. Primeiro calcule (1{,}02)^{12} (crescimento anual equivalente) multiplicando mês a mês ou lembrando que (1{,}02)^{12}\approx 1{,}2682417946. Para registro didático, a potência mensal por mês (apenas ilustrativo) leva a:
(1{,}02)^{12}\approx 1{,}2682417946.
  1. Como 120=12\times 10, temos
(1{,}02)^{120} = \big((1{,}02)^{12}\big)^{10}.
  1. Para elevar a décima potência é simples usando logaritmos/exponenciais ou a aproximação exponencial. Usando logaritmo natural por aproximação (passos resumidos):
  • \ln(1{,}02)\approx 0{,}0198026267 (série de Taylor para \ln(1+x) com x=0{,}02 dá essa aproximação),
  • 120\ln(1{,}02)\approx 2{,}3763152,
  • então (1{,}02)^{120}=e^{2{,}3763152}.
  1. Expandindo e^{0{,}3763152} pela série de Taylor e multiplicando por e^2 obtemos (detalhes de soma de termos na conta):
(1{,}02)^{120}\approx 10{,}76537445.
Portanto
A_c = 1000\times 10{,}76537445 \approx 10{,}765{,}37.
(Em palavras: o depósito de R\$\,1.000,00 a 2\% ao mês durante 120 meses vira cerca de R\$\,10.765{,}37.)

Passo 5

Comparação direta e interpretação didática:
  • Montante com juros simples: A_s = R\$\,7.000{,}00.
  • Montante com juros compostos: A_c \approx R\$\,10.765{,}37.
Conclusão didática: apesar de a taxa mensal ser menor no regime composto ( 2\% vs 5\% ao mês), o efeito de capitalização (juros sobre juros) por um período longo (10 anos = 120 meses) faz o investimento composto crescer muito mais. Juros simples cresce linearmente com o tempo; juros compostos cresce exponencialmente, e no longo prazo a capitalização vence.

Resposta

Investimento com juros simples: R\$\,7000,00
Investimento com juros compostos: R\$\,10765,37 — o investimento com juros compostos apresenta maior retorno após 10 anos.

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