Considere dois tipos de investimentos: o primeiro paga uma taxa de juros simples de
a.m e o segundo uma taxa de juros composto de
a.m. Ao fazermos dois depósitos de
1.000,00$ reais, um em cada um desse tipos de investimentos, qual apresentará um maior retorno após um período de dez anos?
Passo 1
O enunciado dá duas opções de investimento e pede para comparar os retornos após dez anos, com um depósito de
em cada:
- Depósito em investimento com juros simples de
ao mês. - Depósito em investimento com juros compostos de
ao mês.
Informações extraídas e fixas:
- Valor principal de cada depósito:
. - Taxa de juros no investimento simples:
(por mês). - Taxa de juros no investimento composto:
(por mês). - Período: dez anos. Como a taxa é mensal, converte-se para meses:
.
O que se pede: determinar qual investimento apresenta maior retorno após
meses e calcular os montantes finais.
Passo 2
Relembrando a fórmula de juros simples (aula curta e prática):
- Juros simples significa que os juros de cada período são calculados sobre o valor inicial
e não se incorporam ao principal. - Fórmula do montante (valor final) em juros simples:
onde
-
é o montante final no regime de juros simples, -
é o capital inicial (aqui ), -
é a taxa por período (aqui ), -
é o número de períodos (aqui ).
Aplicando ao nosso caso:
Calcule passo a passo:
Portanto o montante do investimento em juros simples após 10 anos é
.
Passo 3
Relembrando a fórmula de juros compostos (aula curta e prática):
- Juros compostos significam que, a cada período, os juros gerados são incorporados ao capital e também rendem juros nos períodos seguintes.
- Fórmula do montante em juros compostos:
onde
-
é o montante final no regime composto, -
é o capital inicial (aqui ), -
é a taxa por período (aqui ), -
é o número de períodos (aqui ).
No nosso caso:
Passo 4
Vamos aproximar numericamente
de uma forma que dá para fazer “na caneta” sem calculadora exata (método prático e didático):
- Primeiro calcule
(crescimento anual equivalente) multiplicando mês a mês ou lembrando que . Para registro didático, a potência mensal por mês (apenas ilustrativo) leva a:
- Como
, temos
- Para elevar a décima potência é simples usando logaritmos/exponenciais ou a aproximação exponencial. Usando logaritmo natural por aproximação (passos resumidos):
-
(série de Taylor para com dá essa aproximação), -
, - então
.
- Expandindo
pela série de Taylor e multiplicando por obtemos (detalhes de soma de termos na conta):
Portanto
(Em palavras: o depósito de
a
ao mês durante 120 meses vira cerca de
.)
Passo 5
Comparação direta e interpretação didática:
- Montante com juros simples:
. - Montante com juros compostos:
.
Conclusão didática: apesar de a taxa mensal ser menor no regime composto (
vs
ao mês), o efeito de capitalização (juros sobre juros) por um período longo (10 anos = 120 meses) faz o investimento composto crescer muito mais. Juros simples cresce linearmente com o tempo; juros compostos cresce exponencialmente, e no longo prazo a capitalização vence.
Resposta
Investimento com juros simples:
Investimento com juros compostos: — o investimento com juros compostos apresenta maior retorno após 10 anos.
Investimento com juros compostos: