Assinale a única assertiva que nega corretamente a seguinte proposição lógica:
“Se eles foram ao evento, então receberam o brinde”
a) Se eles não foram ao evento, então não receberam o brinde.
b) Eles foram ao evento e não receberam o brinde.
c) Eles foram ao evento ou não haverá brinde.
d) Eles foram ao evento e não receberam o brinde.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a única assertiva que é a negação correta da proposição “Se eles foram ao evento, então receberam o brinde”.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Defino \;p como “eles foram ao evento”.
  • Defino \;q como “receberam o brinde”.
  • A proposição original é "Se p então q", ou seja, \;p \to q.
    A tarefa é escolher entre as alternativas (a), (b), (c), (d) qual expressa corretamente \;\lnot (p \to q).

Passo 2

Entendendo o que significa a implicação \;p \to q.
  • A implicação \;p \to q vale falsa somente no caso em que p é verdadeira e q é falsa; em todos os outros casos ela vale verdadeira.
  • Uma forma útil de reescrever \;p \to q é usando a equivalência lógica
p \to q \equiv \lnot p \lor q.
Isto lê-se: "se p então q" é logicamente equivalente a "ou não p ou q". Vou usar essa forma para negar a implicação com calma.

Passo 3

Negando a implicação usando a equivalência e De Morgan:
Começo com
\lnot (p \to q).
Usando p \to q \equiv \lnot p \lor q, tenho
\lnot (p \to q) \equiv \lnot(\lnot p \lor q).
Agora aplico a Lei de De Morgan para negação de uma disjunção, que diz \lnot(A \lor B) \equiv \lnot A \land \lnot B. Aplicando aqui:
\lnot(\lnot p \lor q) \equiv \lnot(\lnot p) \land \lnot q.
Como \lnot(\lnot p) é simplesmente p, obtenho
\lnot (p \to q) \equiv p \land \lnot q.

Passo 4

Interpretação em linguagem comum: \;p \land \lnot q significa “eles foram ao evento E não receberam o brinde”. Essa é a forma verbal exata da negação da condicional: a única maneira de tornar falsa a frase “Se fui ao evento, então recebi o brinde” é que alguém tenha ido ao evento e, mesmo assim, não tenha recebido o brinde.

Passo 5

Agora comparo com as alternativas fornecidas (traduzo cada uma para a forma lógica):
  • (a) “Se eles não foram ao evento, então não receberam o brinde.” é a forma lógica \;\lnot p \to \lnot q. Isso não é equivalente à negação; é o chamado inverso da implicação original.
  • (b) “Eles foram ao evento e não receberam o brinde.” é a forma lógica \;p \land \lnot q. Esta coincide exatamente com a negação que obtivemos em \;p \land \lnot q.
  • (c) “Eles foram ao evento ou não haverá brinde.” é a forma lógica \;p \lor \lnot q. Isso é diferente de \;p \land \lnot q; por exemplo, \;p \lor \lnot q é verdadeira mesmo se só \lnot q for verdadeira, então não é a negação correta.
  • (d) “Eles foram ao evento e não receberam o brinde.” é textualmente idêntica à (b), portanto também corresponde a \;p \land \lnot q. (Observação: as opções (b) e (d) são iguais textualmente; a negação correta é essa forma.)
Como a negação correta é \;p \land \lnot q, a alternativa que expressa isso é a (b) (e também a (d), por repetição).
Concluindo de modo direto e escolhendo uma única alternativa (a primeira ocorrência da forma correta).

Resposta

b) Eles foram ao evento e não receberam o brinde.

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