Assinale a única série divergente.
(a) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}.
(b) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 n^{2}+1}{n \ln n}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos (4 n)}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar qual, entre as quatro séries dadas, é divergente. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas: telescópica, teste do termo geral, séries geométricas e séries-p.

Passo 2

Analisemos a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
Note que
\frac{1}{n^{2}-1} =\frac{1}{(n-1)(n+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr),
é uma série telescópica. Ao somar de n=2 até N, cancelam-se quase todos os termos, sobrando um limite finito quando N\to\infty. Logo, essa série converge.

Passo 3

Analisemos a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2n^{2}+1}{n\ln n}.
Observe o termo geral
a_{n}=\frac{2n^{2}+1}{n\ln n} =2\,\frac{n}{\ln n}+\frac{1}{n\ln n}.
Para n\to\infty, \frac{n}{\ln n}\to\infty, logo a_{n}\not\to0. Pelo teste do termo geral, se a_{n} não tende a zero, a série diverge.

Passo 4

Analisemos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}.
Podemos separar em
2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}},
ambas são séries geométricas com razão \frac{1}{5} em valor absoluto e convergem. Logo, a série original converge.

Passo 5

Analisemos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos(4n)}{n^{2}}.
Escrevendo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(4n)}{n^{2}},
a primeira é a série-p com p=2>1, convergente, e a segunda converge absolutamente pois \bigl|\cos(4n)\bigr|\le1 e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos(4n)|}{n^{2}} \le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty.
Portanto essa série também converge.

Resposta

(b)

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