Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O conjunto formado pelos vetores \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8)
e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique com cálculos e teoria.
Informações dadas:
Os vetores são \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2).
A afirmação a ser avaliada: “O conjunto formado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é linearmente dependente (LD).”
Passo 2
Definição e estratégia (explicação didática):
Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que uma combinação linear deles dá o vetor nulo. Em símbolos: existe \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, com
Vou procurar esses escalares resolvendo o sistema linear que vem da igualdade acima. Se eu encontrar uma solução com algum dos escalares diferente de zero, então os vetores são LD. Se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0, são linearmente independentes.
Passo 3
Escrever o sistema vetorial como um sistema de equações escalares. A equação \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}=\mathbf{0}\) gera, coordenada a coordenada:
\[\begin{cases} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 3 + \gamma\cdot 5 = 0,\\[4pt] \alpha\cdot(-1) + \beta\cdot(-2) + \gamma\cdot(-4) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 3 + \beta\cdot(-8) + \gamma\cdot(-2) = 0. \end{cases}
Posso escrever isso na forma matricial (A\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\\[2pt]\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}], com A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 3 & -8 & -2 \end{pmatrix}.]
Passo 4
Resolver o sistema por eliminação de Gauss (passo a passo, sem pular contas).
Matriz aumentada (coluna de zeros omitida porque é homogêneo):
para qualquer parâmetro t\in\mathbb{R}. Como existe solução com t\neq 0 (por exemplo t=1 dá \alpha=-2,\beta=-1,\gamma=1), existe combinação linear não trivial que gera o vetor nulo.
Passo 6
Escrever explicitamente a relação de dependência e checar:
Conclusão (interpretação final, explicação didática curta): existe uma combinação linear não trivial entre \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} (nominalmente \mathbf{w}=2\mathbf{u}+\mathbf{v}), portanto o conjunto é linearmente dependente. Uma maneira rápida de reconhecer isso em prova é tentar expressar um vetor como combinação dos outros ou calcular o determinante da matriz cujas colunas são os vetores; aqui o determinante seria zero, refletindo dependência.