Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O conjunto formado pelos vetores
\mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8)
e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique com cálculos e teoria.
Informações dadas:
  • Os vetores são \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2).
  • A afirmação a ser avaliada: “O conjunto formado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é linearmente dependente (LD).”

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática):
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tais que uma combinação linear deles dá o vetor nulo. Em símbolos: existe \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, com
\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}=\mathbf{0}.
  • Vou procurar esses escalares resolvendo o sistema linear que vem da igualdade acima. Se eu encontrar uma solução com algum dos escalares diferente de zero, então os vetores são LD. Se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0, são linearmente independentes.

Passo 3

Escrever o sistema vetorial como um sistema de equações escalares. A equação \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\gamma\mathbf{w}=\mathbf{0}\) gera, coordenada a coordenada: \[\begin{cases} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 3 + \gamma\cdot 5 = 0,\\[4pt] \alpha\cdot(-1) + \beta\cdot(-2) + \gamma\cdot(-4) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 3 + \beta\cdot(-8) + \gamma\cdot(-2) = 0. \end{cases}
Posso escrever isso na forma matricial (A \begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\\[2pt]\gamma\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}], com
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 3 & -8 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação de Gauss (passo a passo, sem pular contas).
Matriz aumentada (coluna de zeros omitida porque é homogêneo):
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] -1 & -2 & -4\\[4pt] 3 & -8 & -2 \end{pmatrix}.
Operações:
  • Faço R_2:=R_2+R_1:
R_2 = (-1+1,\\\ -2+3,\\\ -4+5) = (0,\\\ 1,\\\ 1).
  • Faço R_3:=R_3-3R_1:
R_3 = (3-3,\\\ -8-9,\\\ -2-15) = (0,\\\ -17,\\\ -17).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -17 & -17 \end{pmatrix}.
  • Agora faço R_3:=R_3+17R_2:
R_3 = (0,\\\ -17+17\cdot 1,\\\ -17+17\cdot 1) = (0,\\\ 0,\\\ 0).
A matriz reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação das equações resultantes e solução geral:
  • Da segunda linha obtemos \beta + \gamma = 0, logo \beta = -\gamma.
  • Da primeira linha obtemos \alpha + 3\beta + 5\gamma = 0. Substituindo \beta=-\gamma:
\alpha + 3(-\gamma) + 5\gamma = \alpha + 2\gamma = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -2\gamma.
  • Portanto as soluções são
\alpha = -2t,\qquad \beta = -t,\qquad \gamma = t,
para qualquer parâmetro t\in\mathbb{R}. Como existe solução com t\neq 0 (por exemplo t=1 \alpha=-2,\beta=-1,\gamma=1), existe combinação linear não trivial que gera o vetor nulo.

Passo 6

Escrever explicitamente a relação de dependência e checar:
  • Para t=1 obtemos
-2\mathbf{u}-1\mathbf{v}+1\mathbf{w}=\mathbf{0},
ou rearranjando
\mathbf{w}=2\mathbf{u}+\mathbf{v}.
  • Verificação numérica:
2\mathbf{u}+\mathbf{v}=2(1,-1,3)+(3,-2,-8)=(2+3,\,-2-2,\\\ 6-8)=(5,-4,-2)=\mathbf{w},
confirma a relação.

Passo 7

Conclusão (interpretação final, explicação didática curta): existe uma combinação linear não trivial entre \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} (nominalmente \mathbf{w}=2\mathbf{u}+\mathbf{v}), portanto o conjunto é linearmente dependente. Uma maneira rápida de reconhecer isso em prova é tentar expressar um vetor como combinação dos outros ou calcular o determinante da matriz cujas colunas são os vetores; aqui o determinante seria zero, refletindo dependência.

Resposta

(V)

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