(2,0 pts) Seja
espaço vetorial sobre
. Considere a aplicação
dada por
onde
e
.
(a)
Mostre que a aplicação acima é um produto interno em
.
(b)
Calcule a norma do vetor
com respeito a este produto interno.
(c)
vetores
e
são ortogonais em
com esse produto interno?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
sobre
e uma aplicação
definida por
onde
e
.
Perguntas do enunciado:
(a) Mostrar que a aplicação é um produto interno em .
(b) Calcular a norma do vetor relativamente a esse produto interno.
(c) Verificar se os vetores e
são ortogonais nesse produto interno.
(a) Mostrar que a aplicação é um produto interno em
(b) Calcular a norma do vetor
(c) Verificar se os vetores
Informações relevantes fornecidas:
- Fórmula explícita do produto
. - Vetores cujas propriedades devem ser verificadas:
, , .
Passo 2
Definição e ideias que vamos usar (explicadas devagarzinho).
Um produto interno em um espaço vetorial real é uma aplicação que satisfaz, para todos
e todo escalar
, três propriedades:
Um produto interno em um espaço vetorial real é uma aplicação
-
Linearidade em cada argumento (para espaços reais costuma-se exigir bilinearidade):
-
. -
. - Analogamente em relação ao segundo argumento:
e .
Aqui, , .
-
-
Simetria:
-
.
-
-
Definitez positiva:
-
para todo . -
somente quando é o vetor nulo .
-
Também usaremos as definições derivadas:
- A norma associada a um produto interno é
. - Dois vetores
e são ortogonais quando .
Passo 3
Verificação da linearidade (mostrando passo a passo).
Sejam ,
e
.
Sejam
Primeiro, soma no primeiro argumento:
Logo,
Distribuindo a soma:
Reconhecendo termos:
Agora multiplicação por escalar
:
portanto
Pela comutatividade da multiplicação real, a mesma demonstração aplica-se ao segundo argumento (ou pode-se usar simetria, que será mostrada a seguir) para obter
e
.
Assim, a aplicação é bilinear (linear em cada argumento).
Passo 4
Verificação da simetria.
Para e
tem-se:
Para
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
etc.),
Portanto a aplicação é simétrica.
Passo 5
Verificação da positividade definida.
Calculemos para
:
Calculemos
Aqui
e
. Como
e
para todos os reais
, segue que
Além disso, se
então
. Como os termos são não-negativos e os coeficientes são positivos, isso só pode ocorrer se
e
, ou seja
e
. Portanto
implica
. Isso prova a positividade definida.
Passo 6
Conclusão do item (a).
Já mostramos bilinearidade, simetria e positividade definida. Logo a aplicação é um produto interno em
.
Já mostramos bilinearidade, simetria e positividade definida. Logo a aplicação
Passo 7
Cálculo da norma do vetor
(item b), lembrando que
.
Primeiro calcule
:
Portanto a norma é
Passo 8
Verificação de ortogonalidade entre
e
(item c).
Calcule a aplicação para esses vetores:
Como o produto interno é zero, os vetores
e
são ortogonais.
Resposta
(a) Sim. A aplicação é um produto interno em
.
(b)
(c) Sim.
(b)
(c) Sim.