(2,0 pts) Seja V=\mathbb{R}^{2} espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Considere a aplicação <\cdot, \cdot>: V \times V \rightarrow \mathbb{R} dada por
\langle u, v\rangle=3 x_{1} y_{1}+2 x_{2} y_{2}
onde u=\left(x_{1}, x_{2}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}\right).
(a) (1,0) Mostre que a aplicação acima é um produto interno em V.
(b) (0,5) Calcule a norma do vetor u=(2,1) com respeito a este produto interno.
(c) (0,5) \mathrm{O} vetores (1,1) e (-2,3) são ortogonais em V com esse produto interno?

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} sobre \mathbb{R} e uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} definida por
\langle u,v\rangle = 3 x_{1}y_{1} + 2 x_{2}y_{2},
onde u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}).
Perguntas do enunciado:
(a) Mostrar que a aplicação é um produto interno em V.
(b) Calcular a norma do vetor u=(2,1) relativamente a esse produto interno.
(c) Verificar se os vetores (1,1) e (-2,3) são ortogonais nesse produto interno.
Informações relevantes fornecidas:
  • Fórmula explícita do produto \langle\cdot,\cdot\rangle.
  • Vetores cujas propriedades devem ser verificadas: u=(2,1), (1,1), (-2,3).

Passo 2

Definição e ideias que vamos usar (explicadas devagarzinho).
Um produto interno em um espaço vetorial real é uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} que satisfaz, para todos u,v,w\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, três propriedades:
  1. Linearidade em cada argumento (para espaços reais costuma-se exigir bilinearidade):
    • \langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle.
    • \langle \alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle.
    • Analogamente em relação ao segundo argumento: \langle u,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle e \langle u,\alpha v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle.
      Aqui u=(x_{1},x_{2}), v=(x_{1}',x_{2}'), w=(y_{1},y_{2}).
  2. Simetria:
    • \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
  3. Definitez positiva:
    • \langle u,u\rangle\ge 0 para todo u.
    • \langle u,u\rangle=0 somente quando u é o vetor nulo (0,0).
Também usaremos as definições derivadas:
  • A norma associada a um produto interno é \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.
  • Dois vetores u e v são ortogonais quando \langle u,v\rangle=0.

Passo 3

Verificação da linearidade (mostrando passo a passo).
Sejam u=(x_{1},x_{2}), v=(x_{1}',x_{2}') e w=(y_{1},y_{2}).
Primeiro, soma no primeiro argumento:
u+v=(x_{1}+x_{1}',\,x_{2}+x_{2}').
Logo,
\langle u+v,w\rangle = 3(x_{1}+x_{1}')y_{1} + 2(x_{2}+x_{2}')y_{2}.
Distribuindo a soma:
\langle u+v,w\rangle = \big(3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}\big) + \big(3x_{1}'y_{1}+2x_{2}'y_{2}\big).
Reconhecendo termos:
\langle u+v,w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle.
Agora multiplicação por escalar \alpha:
\alpha u = (\alpha x_{1},\alpha x_{2}),
portanto
\langle \alpha u,v\rangle = 3(\alpha x_{1})y_{1} + 2(\alpha x_{2})y_{2} = \alpha\big(3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}\big) = \alpha\langle u,v\rangle.
Pela comutatividade da multiplicação real, a mesma demonstração aplica-se ao segundo argumento (ou pode-se usar simetria, que será mostrada a seguir) para obter \langle u,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle e \langle u,\alpha v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle.
Assim, a aplicação é bilinear (linear em cada argumento).

Passo 4

Verificação da simetria.
Para u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}) tem-se:
\langle u,v\rangle = 3x_{1}y_{1} + 2x_{2}y_{2}.
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( x_{1}y_{1}=y_{1}x_{1} etc.),
\langle u,v\rangle = 3y_{1}x_{1} + 2y_{2}x_{2} = \langle v,u\rangle.
Portanto a aplicação é simétrica.

Passo 5

Verificação da positividade definida.
Calculemos \langle u,u\rangle para u=(x_{1},x_{2}):
\langle u,u\rangle = 3x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2}.
Aqui 3>0 e 2>0. Como x_{1}^{2}\ge 0 e x_{2}^{2}\ge 0 para todos os reais x_{1},x_{2}, segue que
\langle u,u\rangle = 3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} \ge 0.
Além disso, se \langle u,u\rangle=0 então 3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=0. Como os termos são não-negativos e os coeficientes são positivos, isso só pode ocorrer se x_{1}^{2}=0 e x_{2}^{2}=0, ou seja x_{1}=0 e x_{2}=0. Portanto \langle u,u\rangle=0 implica u=(0,0). Isso prova a positividade definida.

Passo 6

Conclusão do item (a).
Já mostramos bilinearidade, simetria e positividade definida. Logo a aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em V=\mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Cálculo da norma do vetor u=(2,1) (item b), lembrando que \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.
Primeiro calcule \langle u,u\rangle:
\langle (2,1),(2,1)\rangle = 3\cdot 2^{2} + 2\cdot 1^{2} = 3\cdot 4 + 2\cdot 1 = 12 + 2 = 14.
Portanto a norma é
\| (2,1)\| = \sqrt{14}.

Passo 8

Verificação de ortogonalidade entre (1,1) e (-2,3) (item c).
Calcule a aplicação para esses vetores:
\langle (1,1),(-2,3)\rangle = 3\cdot 1\cdot(-2) + 2\cdot 1\cdot 3 = -6 + 6 = 0.
Como o produto interno é zero, os vetores (1,1) e (-2,3) são ortogonais.

Resposta

(a) Sim. A aplicação é um produto interno em V.
(b) \sqrt{14}
(c) Sim. \langle (1,1),(-2,3)\rangle=0

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