(3,5 pts) Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y, x+y+z) .
(a) (0,5) Determine a matriz do operador T na base canônica C do \mathbb{R}^{3}.
(b) (0,5) Determine o polinômio característico de T.
(c) (0,5) Determine os autovalores do operador T.
(d) (1,0) Determine os autoespaços correspondentes a cada autovalor encontrado no item (c).
(e) (0,5) Determine as dimensões dos autoespaços encontrados no item (c).
(f) (0,5) \mathrm{O} operador T é diagonalizável? Se sim, determine sua matriz na forma diagonal.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\;y,\;x+y+z).
As perguntas pedem, em ordem:
(a) a matriz de T na base canônica C de \mathbb{R}^3;
(b) o polinômio característico de T;
(c) os autovalores de T;
(d) os autoespaços (espaços próprios) correspondentes a cada autovalor encontrado em (c);
(e) as dimensões desses autoespaços;
(f) se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, qual é sua matriz na forma diagonal.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (pegar diretamente da definição de T):
  • A ação de T em um vetor (x,y,z) é (2x+y,\;y,\;x+y+z).
  • Não há mais dados externos; trabalhar na base canônica padrão de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Determinar a matriz de T na base canônica C=\{e_1,e_2,e_3\}.
Explicação do método (passo a passo): para achar a matriz A de T na base canônica, calcula-se T(e_1),T(e_2),T(e_3) e coloca-se esses vetores como colunas de A. Aqui e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Calcular T(e_1):
T(1,0,0)=(2\cdot1+0,\;0,\;1+0+0)=(2,0,1).
Calcular T(e_2):
T(0,1,0)=(2\cdot0+1,\;1,\;0+1+0)=(1,1,1).
Calcular T(e_3):
T(0,0,1)=(2\cdot0+0,\;0,\;0+0+1)=(0,0,1).
Portanto a matriz A (colunas = imagens dos e_i) é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Determinar o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Explicação didática: o polinômio característico de uma matriz A é \det(A-\lambda I). Para uma matriz 3\times3 calcula-se o determinante do termo A-\lambda I.
Escrever A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1-\lambda & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Calcular o determinante (usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores). Aqui é rápido observar que a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras entradas, o que simplifica, mas aplicarei a fórmula padrão:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)+1\cdot0\cdot1+0\cdot0\cdot1-0\cdot(1-\lambda)\cdot0-1\cdot0\cdot(1-\lambda)-(2-\lambda)\cdot0\cdot1.
Todos os termos exceto o primeiro são zero, então
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(1-\lambda)^2.]

Passo 4

Determinar os autovalores a partir do polinômio característico.
Explicação didática: os autovalores são as raízes do polinômio p(\lambda). Temos p(\lambda)=(2-\lambda)(1-\lambda)^2. Então as raízes são \lambda=2 e \lambda=1. Observação sobre multiplicidades:
  • \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 1.
  • \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Determinar o autoespaço correspondente a [\lambda=2).
Explicação do método: o autoespaço associado a \lambda é o espaço nulo de A-\lambda I, ou seja, resolver (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-2I)(x,y,z)^T=0, obtemos o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 1\cdot x + 1\cdot y -1\cdot z = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem y=0\]. Substituindo na terceira: \[x + 0 - z = 0 \quad\Rightarrow\quad z=x.\] Logo os vetores próprios são da forma \((x,0,x)=x(1,0,1) com x\in\mathbb{R}. Portanto o autoespaço de \lambda=2 é
E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,1)\}.]

Passo 6

Determinar o autoespaço correspondente a [\lambda=1).
Para \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-I)(x,y,z)^T=0 dá o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=-x\]. Não há restrição sobre \(z. Então os vetores próprios são (x,-x,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1). Portanto o autoespaço de \lambda=1 é
E_{1}=\operatorname{span}\{(1,-1,0),\;(0,0,1)\}.]

Passo 7

Determinar as dimensões dos autoespaços encontrados.
Explicação: a dimensão do autoespaço é o número de vetores de uma base do autoespaço (também chamada multiplicidade geométrica).
  • Para \lambda=2, E_2=\operatorname{span}\{(1,0,1)\}, logo \dim E_2=1.
  • Para \lambda=1, E_1=\operatorname{span}\{(1,-1,0),(0,0,1)\}, esses dois vetores são linearmente independentes, logo \dim E_1=2.

Passo 8

Verificar se T é diagonalizável e, se sim, apresentar a matriz diagonal.
Critério e explicação didática: um operador linear em espaço de dimensão n é diagonalizável se existe uma base formada por vetores próprios (ou equivalentemente, se a soma das dimensões dos autoespaços é n). Aqui \dim E_2+\dim E_1=1+2=3, que é a dimensão do espaço. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por vetores próprios e T é diagonalizável.
Construção da matriz diagonal: escolhendo uma base de autovetores onde o primeiro vetor corresponde a \lambda=2 e os dois seguintes a \lambda=1, a matriz de T nessa base é diagonal com as respectivas valores próprios na diagonal. Por exemplo, com a base de autovetores
v_1=(1,0,1)\quad(\text{para }\lambda=2),\qquad v_2=(1,-1,0),\quad v_3=(0,0,1)\quad(\text{para }\lambda=1),
a matriz diagonal é
D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Isso mostra explicitamente a diagonalização P^{-1}AP=D onde P tem colunas v_1,v_2,v_3.]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle p(\lambda)=(2-\lambda)(1-\lambda)^2
(c) \displaystyle \lambda=2 (multiplicidade algébrica 1); \displaystyle \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2)
(d) \displaystyle E_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,1)\}\
\displaystyle E_{1}=\operatorname{span}\{(1,-1,0),\;(0,0,1)\}
(e) \displaystyle \dim E_{2}=1\
\displaystyle \dim E_{1}=2
(f) Sim. \displaystyle D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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