Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A aplicação
definida por
é diagonalizável.
( ) A aplicação
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a aplicação linear
dada por
é diagonalizável. Informação fornecida:
- A regra de
: .
A tarefa é responder (V) se for diagonalizável ou (F) se não for, justificando com cálculos e teoria.
Passo 2
Escrever a matriz de
na base canônica e explicar por que isso é útil.
- A coluna
da matriz é e a coluna é . - Calcular:
Portanto a matriz de
na base canônica é
Trabalhar com
é conveniente porque diagonalizabilidade de
equivale à diagonalizabilidade de
.]
Passo 3
Lembrar a definição e critério prático de diagonalizabilidade (mini-aula).
- Definição prática: uma matriz
é diagonalizável se existe uma base formada por autovetores (vetores próprios) — isto é, se existem vetores linearmente independentes que são autovetores. - Critério pelo polinômio característico: para cada autovalor
, a multiplicidade algébrica (multiplicidade como raiz do polinômio característico) deve igualar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio ). Se isso ocorrer para todos os autovalores, a matriz é diagonalizável.
Vamos aplicar isso a.
Passo 4
Calcular o polinômio característico e os autovalores.
- O polinômio característico é
. Calcular:
Logo
- Portanto o único autovalor é
, com multiplicidade algébrica .]
Passo 5
Calcular o espaço próprio associado a
Se
, então
equivale ao sistema
Da segunda equação vem
. Assim o espaço próprio
é gerado por
e tem dimensão
.]
Passo 6
Concluir sobre diagonalizabilidade (explicação direta e intuição).
- Comparando multiplicidades: o autovalor
tem multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica . - Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica para esse autovalor, não existem
autovetores linearmente independentes. Pelo critério, (e portanto ) NÃO é diagonalizável. - Intuição rápida:
é da forma com
onde
e
. Essa presença de um bloco de Jordan de tamanho
impede diagonalização (não existem autovetores suficientes).]
Passo 7
Resumo final e encorajamento rápido.
- Conclusão direta pelos cálculos: só há um autovetor (até escala) enquanto seriam necessários dois para diagonalizar em
. Então a resposta é negativa. - Fica a dica: quando a matriz tem um único autovalor com multiplicidade algébrica
, sempre cheque a dimensão do espaço próprio; se for , não é diagonalizável — isso economiza tempo na prova!
Resposta
F