Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A aplicação
definida por
, que representa uma reflexão em torno do eixo
, é um isomorfismo.
( ) A aplicação
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
A pergunta é: essa aplicação é um isomorfismo?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de associação de
para um vetor é . - O domínio e o contradomínio são ambos
. - Precisa-se decidir se
é um isomorfismo (ou seja, se é um mapeamento linear bijetivo entre espaços vetoriais).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa ser um isomorfismo (definição direta e prática).
- Uma aplicação linear
entre espaços vetoriais é um isomorfismo se for bijetiva (injeção + sobrejeção). Bijetividade equivale a existir inversa linear . - Para checar linearidade é suficiente verificar que, para quaisquer vetores
e escalar ,
Agora aplico essa verificação explicitamente à
dada.
Passo 3
Verificação da linearidade por cálculo direto. Seja
e
.
Calculo :
Calculo
Calculo
:
Portanto
.
Agora verificação da homogeneidade: seja
e
.
Conclusão:
é linear.
Passo 4
Uma maneira prática de decidir se a aplicação linear é isomorfismo é checar se é injetora (ou se tem núcleo trivial) ou checar se é sobrejetora. Vou fazer ambas as verificações, começando pelo núcleo.
O núcleo de
é
Resolver
dá
Daí
e
. Logo
Teorema: para aplicações lineares entre espaços vetoriais, núcleo trivial (
) implica injetividade. Portanto
é injetora.
Passo 5
Agora mostro explicitamente que
é sobrejetora (para ser bem concreto e te ensinar a fazer na prova sem depender de teoremas avançados). Seja um vetor arbitrário
. Procuramos
tal que
Isto implica o sistema
Dessa segunda equação obtemos
. Assim a pré-imagem é
, que de fato pertence a
. Como para todo
encontramos um
com
, a aplicação é sobrejetora.
Logo
é bijetiva (injeção + sobrejeção).
Passo 6
Outra forma rápida e útil (boa para prova também) é ver a matriz de
na base canônica e verificar invertibilidade. Na base canônica
a matriz é
pois
e
. O determinante de
é
Como a matriz associada tem determinante não nulo, ela é invertível, logo
é invertível (equivalente a ser isomorfismo). Além disso, observa-se que a própria aplicação é sua inversa, porque
ou seja,
, portanto
.]
Passo 7
Sumarizando o raciocínio de forma prática para a prova:
- Mostrar linearidade por checagem das propriedades de aditividade e homogeneidade (Passo 3).
- Mostrar injeção via núcleo trivial (Passo 4) ou via determinante não nulo (Passo 6).
- Mostrar sobrejeção encontrando explicitamente a pré-imagem de um vetor arbitrário (Passo 5) ou usar que em espaços de mesma dimensão injeção implica bijeção.
- Concluir que
é bijetiva linear, portanto um isomorfismo. Além disso, pois refletir duas vezes dá identidade.
Resposta
(V)