Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) A aplicação \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por \mathbf{T}(x, y)=(x,-y), que representa uma reflexão em torno do eixo x, é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \mathbf{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
\mathbf{T}(x,y)=(x,-y).
A pergunta é: essa aplicação é um isomorfismo?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de associação de \mathbf{T} para um vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} é (x,-y).
  • O domínio e o contradomínio são ambos \mathbb{R}^{2}.
  • Precisa-se decidir se \mathbf{T} é um isomorfismo (ou seja, se é um mapeamento linear bijetivo entre espaços vetoriais).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa ser um isomorfismo (definição direta e prática).
  • Uma aplicação linear \mathbf{T}:V\to W entre espaços vetoriais é um isomorfismo se for bijetiva (injeção + sobrejeção). Bijetividade equivale a existir inversa linear \mathbf{T}^{-1}.
  • Para checar linearidade é suficiente verificar que, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^{2} e escalar c\in\mathbb{R},
\mathbf{T}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{T}(\mathbf{u})+\mathbf{T}(\mathbf{v}) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{T}(c\mathbf{u})=c\,\mathbf{T}(\mathbf{u}).
Agora aplico essa verificação explicitamente à \mathbf{T} dada.

Passo 3

Verificação da linearidade por cálculo direto. Seja \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2).
Calculo \mathbf{T}(\mathbf{u}+\mathbf{v}):
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
\mathbf{T}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=(x_1+x_2,\;-(y_1+y_2))=(x_1+x_2,\;-y_1-y_2).
Calculo \mathbf{T}(\mathbf{u})+\mathbf{T}(\mathbf{v}):
\mathbf{T}(\mathbf{u})=(x_1,-y_1),\qquad \mathbf{T}(\mathbf{v})=(x_2,-y_2),
\mathbf{T}(\mathbf{u})+\mathbf{T}(\mathbf{v})=(x_1+x_2,\;-y_1-y_2).
Portanto \mathbf{T}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{T}(\mathbf{u})+\mathbf{T}(\mathbf{v}).
Agora verificação da homogeneidade: seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x_1,y_1).
c\mathbf{u}=(c x_1,\;c y_1),
\mathbf{T}(c\mathbf{u})=(c x_1,\; -c y_1)=c(x_1,-y_1)=c\,\mathbf{T}(\mathbf{u}).
Conclusão: \mathbf{T} é linear.

Passo 4

Uma maneira prática de decidir se a aplicação linear é isomorfismo é checar se é injetora (ou se tem núcleo trivial) ou checar se é sobrejetora. Vou fazer ambas as verificações, começando pelo núcleo.
O núcleo de \mathbf{T} é
\ker(\mathbf{T})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid \mathbf{T}(x,y)=(0,0)\}.
Resolver \mathbf{T}(x,y)=(0,0)
(x,-y)=(0,0)\quad\Rightarrow\quad x=0,\; -y=0.
Daí x=0 e y=0. Logo
\ker(\mathbf{T})=\{(0,0)\}.
Teorema: para aplicações lineares entre espaços vetoriais, núcleo trivial ( \{0\}) implica injetividade. Portanto \mathbf{T} é injetora.

Passo 5

Agora mostro explicitamente que \mathbf{T} é sobrejetora (para ser bem concreto e te ensinar a fazer na prova sem depender de teoremas avançados). Seja um vetor arbitrário (a,b)\in\mathbb{R}^{2}. Procuramos (x,y) tal que
\mathbf{T}(x,y)=(x,-y)=(a,b).
Isto implica o sistema
x=a,\qquad -y=b.
Dessa segunda equação obtemos y=-b. Assim a pré-imagem é (x,y)=(a,-b), que de fato pertence a \mathbb{R}^{2}. Como para todo (a,b) encontramos um (a,-b) com \mathbf{T}(a,-b)=(a,b), a aplicação é sobrejetora.
Logo \mathbf{T} é bijetiva (injeção + sobrejeção).

Passo 6

Outra forma rápida e útil (boa para prova também) é ver a matriz de \mathbf{T} na base canônica e verificar invertibilidade. Na base canônica \{(1,0),(0,1)\} a matriz é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
pois \mathbf{T}(1,0)=(1,0) e \mathbf{T}(0,1)=(0,-1). O determinante de A é
\det(A)=1\cdot(-1)-0\cdot0=-1\neq0.
Como a matriz associada tem determinante não nulo, ela é invertível, logo \mathbf{T} é invertível (equivalente a ser isomorfismo). Além disso, observa-se que a própria aplicação é sua inversa, porque
\mathbf{T}(\mathbf{T}(x,y))=\mathbf{T}(x,-y)=(x,y),
ou seja, \mathbf{T}\circ\mathbf{T}=\mathrm{Id}, portanto \mathbf{T}^{-1}=\mathbf{T}.]

Passo 7

Sumarizando o raciocínio de forma prática para a prova:
  • Mostrar linearidade por checagem das propriedades de aditividade e homogeneidade (Passo 3).
  • Mostrar injeção via núcleo trivial (Passo 4) ou via determinante não nulo (Passo 6).
  • Mostrar sobrejeção encontrando explicitamente a pré-imagem de um vetor arbitrário (Passo 5) ou usar que em espaços de mesma dimensão injeção implica bijeção.
  • Concluir que \mathbf{T} é bijetiva linear, portanto um isomorfismo. Além disso, \mathbf{T}^{-1}=\mathbf{T} pois refletir duas vezes dá identidade.

Resposta

(V)

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