Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O Kernel (núcleo) da transformação linear \mathbf{T}: \mathcal{P}_{2}(\Re) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\Re) definido por \mathbf{T}(p)=p^{\prime} é formado só pela função nula.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A transformação linear \mathbf{T}: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por \mathbf{T}(p)=p', isto é, \mathbf{T} envia um polinômio para sua derivada.
    A pergunta que devemos responder:
  • A afirmativa “O Kernel (núcleo) de \mathbf{T} é formado só pela função nula” é verdadeira (V) ou falsa (F)? Devemos justificar com cálculos e argumentos teóricos.

Passo 2

Primeiro, o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear? Definição: o núcleo de uma transformação linear \mathbf{T} é o conjunto
\ker(\mathbf{T})=\{p\in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \mid \mathbf{T}(p)=0\},
onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio identicamente zero). Em palavras: é o conjunto dos polinômios que são enviados para o polinômio zero pela transformação.

Passo 3

Vamos escrever um polinômio genérico de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Qualquer p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem a forma
p(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calculemos a derivada desse polinômio, que é exatamente o que \mathbf{T} faz:
\mathbf{T}(p)=p'(x)=2ax+b.
Note que p'(x) é um polinômio de grau no máximo 1.

Passo 5

Para que p pertença ao núcleo de \mathbf{T} precisamos que \mathbf{T}(p)=0, isto é, que p'(x) seja o polinômio nulo. Portanto impomos
2ax+b\equiv 0\quad\text{(polinômio identicamente zero).}ô
Um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Assim obtemos as equações
2a=0\quad\text{e}\quad b=0.
Da primeira vem a=0. Logo a=0 e b=0, e c fica livre (qualquer número real).

Passo 6

Com a=0 e b=0 o polinômio p reduz-se a
p(x)=c,
isto é, um polinômio constante. Portanto o núcleo é exatamente o conjunto de todos os polinômios constantes:
\ker(\mathbf{T})=\{p(x)=c \mid c\in\mathbb{R}\}.

Passo 7

Observações importantes e exemplo concreto:
  • O núcleo contém polinômios não nulos: por exemplo p(x)=1 tem derivada 0, então p\in\ker(\mathbf{T}) e p não é o polinômio nulo.
  • Assim, o núcleo não é formado só pelo polinômio nulo. Pelo contrário, é um subespaço unidimensional gerado por 1, ou seja, \ker(\mathbf{T})=\operatorname{span}\{1\}.
  • Consequência: \mathbf{T} não é injetora porque \ker(\mathbf{T})\neq\{0\}.

Resposta

(F)

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