Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) O Kernel (núcleo) da transformação linear
definido por
é formado só pela função nula.
( ) O Kernel (núcleo) da transformação linear
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A transformação linear
definida por , isto é, envia um polinômio para sua derivada.
A pergunta que devemos responder: - A afirmativa “O Kernel (núcleo) de
é formado só pela função nula” é verdadeira (V) ou falsa (F)? Devemos justificar com cálculos e argumentos teóricos.
Passo 2
Primeiro, o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear? Definição: o núcleo de uma transformação linear
é o conjunto
onde
é o polinômio nulo (o polinômio identicamente zero). Em palavras: é o conjunto dos polinômios que são enviados para o polinômio zero pela transformação.
Passo 3
Vamos escrever um polinômio genérico de
. Qualquer
tem a forma
com
.
Passo 4
Calculemos a derivada desse polinômio, que é exatamente o que
faz:
Note que
é um polinômio de grau no máximo
.
Passo 5
Para que
pertença ao núcleo de
precisamos que
, isto é, que
seja o polinômio nulo. Portanto impomos
Um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes são zero. Assim obtemos as equações
Da primeira vem
. Logo
e
, e
fica livre (qualquer número real).
Passo 6
Com
e
o polinômio
reduz-se a
isto é, um polinômio constante. Portanto o núcleo é exatamente o conjunto de todos os polinômios constantes:
Passo 7
Observações importantes e exemplo concreto:
- O núcleo contém polinômios não nulos: por exemplo
tem derivada , então e não é o polinômio nulo. - Assim, o núcleo não é formado só pelo polinômio nulo. Pelo contrário, é um subespaço unidimensional gerado por
, ou seja, . - Consequência:
não é injetora porque .
Resposta
(F)