Assinale V ou F:
  • ( ) Para quaisquer subconjuntos X, Y do espaço vetorial E tem-se S(X \cup Y)=S(X) \cup S(Y);
  • ( ) Para quaisquer subconjuntos X, Y do espaço vetorial E tem-se S(X \cap Y)=S(X) \cap S(Y).
  • ( ) Sejam X, Y subconjuntos L.I. do espaço vetorial E então X \cap Y também é um conjunto L.I.

Passo 1

O enunciado pede para testar três afirmações envolvendo o espaço gerado (span) de subconjuntos X,Y\subset E e independência linear. Vamos usar definição de \mathrm{span}(A) como o menor subespaço que contém A e a propriedade de que todo subconjunto de um conjunto linearmente independente (L.I.) também é L.I…

Passo 2

Lembrando que
\mathrm{span}(A)=\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\alpha_i v_i\;\Big|\;k\in\mathbb N,\;v_i\in A,\;\alpha_i\in\mathbb K\Bigr\},
e que se A\subset B então \mathrm{span}(A)\subset\mathrm{span}(B). Além disso, qualquer subconjunto de um conjunto L.I. é L.I.

Passo 3

Para a primeira afirmação:
\mathrm{span}(X\cup Y)=\mathrm{span}(X)\,\cup\,\mathrm{span}(Y)?
Use E=\mathbb R^2, X=\{(1,0)\}, Y=\{(0,1)\}.
Então \mathrm{span}(X) =\{(a,0)\}, \mathrm{span}(Y)=\{(0,b)\}, e
\mathrm{span}(X)\cup\mathrm{span}(Y) =\{(a,0)\}\cup\{(0,b)\},
mas
\mathrm{span}(X\cup Y)=\mathrm{span}\bigl\{(1,0),(0,1)\bigr\}=\mathbb R^2.
Como \{(a,0)\}\cup\{(0,b)\}\neq\mathbb R^2, a igualdade falha. Logo a primeira é Falsa.

Passo 4

Para a segunda afirmação:
\mathrm{span}(X\cap Y)=\mathrm{span}(X)\,\cap\,\mathrm{span}(Y)?
Em \mathbb R^2, tome X=\{(1,0),(0,1)\} e Y=\{(1,1)\}.
Então X\cap Y=\varnothing e \mathrm{span}(X\cap Y)=\{0\},
enquanto
\mathrm{span}(X)\cap\mathrm{span}(Y) =\mathbb R^2\;\cap\;\mathrm{span}\{(1,1)\} =\mathrm{span}\{(1,1)\}\neq\{0\}.
Logo a igualdade não vale em geral. A segunda é Falsa.

Passo 5

Para a terceira afirmação, se X e Y são L.I., então X\cap Y\subset X. Como todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I., segue que X\cap Y é L.I. Assim a terceira é Verdadeira.

Resposta

F
F
V

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