Mostre que o conjunto \left\{e^{x}, e^{2 x}, e^{3 x}, x, x^{2}, x^{3}\right\} é linearmente independente em \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \{e^{x},e^{2x},e^{3x},x,x^{2},x^{3}\}
são linearmente independentes em \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).
O que precisamos usar é que, se uma combinação linear dessas funções for identicamente zero, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares c_{1},\dots,c_{6}\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{3x}+c_{4}x+c_{5}x^{2}+c_{6}x^{3}=0.
Como f é soma de exponenciais e polinômios, ela é real-analítica, e portanto f^{(k)}(x)=0 para todo k\ge0 e todo x.

Passo 3

Em particular, avaliando em x=0 para k=0,1,2,3,4,5 obtemos o seguinte sistema de seis equações:
f(0)=c_{1}+c_{2}+c_{3}=0,
f'(0)=c_{1}+2c_{2}+3c_{3}+c_{4}=0,
f''(0)=c_{1}+4c_{2}+9c_{3}+2c_{5}=0,
f^{(3)}(0)=c_{1}+8c_{2}+27c_{3}+6c_{6}=0,
f^{(4)}(0)=c_{1}+16c_{2}+81c_{3}=0,
f^{(5)}(0)=c_{1}+32c_{2}+243c_{3}=0.

Passo 4

Das duas últimas equações
c_{1}+16c_{2}+81c_{3}=0, \quad c_{1}+32c_{2}+243c_{3}=0
subtraímos a primeira da segunda e obtemos
16c_{2}+162c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; 8c_{2}+81c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; c_{2}=-\frac{81}{8}c_{3}.
Substituindo em c_{1}+16c_{2}+81c_{3}=0 vem
c_{1}=81c_{3}.

Passo 5

Agora, usando c_{1}+c_{2}+c_{3}=0, temos
81c_{3}-\frac{81}{8}c_{3}+c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; \Bigl(81-10{,}125+1\Bigr)c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; 71{,}875\,c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; c_{3}=0.
Então c_{3}=0 implica c_{2}=0 e c_{1}=0.

Passo 6

Finalmente, das equações para f'(0), f''(0) e f^{(3)}(0) segue
c_{4}=0,\quad c_{5}=0,\quad c_{6}=0.
Logo todos os c_{i} são zero.

Resposta

Portanto, a única combinação linear que anula identicamente essas funções é a trivial, e assim \{e^{x},e^{2x},e^{3x},x,x^{2},x^{3}\}
é linearmente independente em \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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