Mostre que o conjunto
é linearmente independente em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
são linearmente independentes em .
O que precisamos usar é que, se uma combinação linear dessas funções for identicamente zero, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
são linearmente independentes em
O que precisamos usar é que, se uma combinação linear dessas funções for identicamente zero, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Como
é soma de exponenciais e polinômios, ela é real-analítica, e portanto
para todo
e todo
.
Passo 3
Em particular, avaliando em
para
obtemos o seguinte sistema de seis equações:
Passo 4
Das duas últimas equações
subtraímos a primeira da segunda e obtemos
Substituindo em
vem
Passo 5
Agora, usando
, temos
Então
implica
e
.
Passo 6
Finalmente, das equações para
,
e
segue
Logo todos os
são zero.
Resposta
Portanto, a única combinação linear que anula identicamente essas funções é a trivial, e assim
é linearmente independente em .
é linearmente independente em