Assinale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um contraexemplo, quando falso.
integral0^3 e^x^2 d x=integral0^5 e^x^2 d x+integral5^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para dizer se a igualdade integral0^3 e^x^2 dx = integral0^5 e^x^2 dx + integral5^3 e^x^2 dx é verdadeira ou falsa. A matéria aqui é sobre integrais definidas e as propriedades delas. Vamos precisar entender como funcionam os limites de integração e como quebrar uma integral em partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica das integrais definidas: se temos integrala^b f(x) dx, podemos dividir essa integral em duas partes se escolhermos um ponto c entre a e b. Ou seja, integrala^b f(x) dx = integrala^c f(x) dx + integralc^b f(x) dx. Isso funciona porque a integral total é a soma das áreas das partes.

Passo 3

No enunciado, temos a = 0, b = 3, e parece que c = 5. Mas atenção! Para que a propriedade funcione, o ponto c precisa estar entre a e b. Aqui, c = 5 não está entre 0 e 3, já que 5 > 3. Isso já dá um sinal de que a igualdade pode não ser válida.

Passo 4

Além disso, sabemos que a orientação dos limites de integração importa. Se invertermos os limites, o sinal da integral muda: integralc^b f(x) dx = -integralb^c f(x) dx. No nosso caso, integral5^3 e^x^2 dx = -integral3^5 e^x^2 dx. Então, a igualdade do enunciado ficaria integral0^3 e^x^2 dx = integral0^5 e^x^2 dx - integral3^5 e^x^2 dx.

Passo 5

Agora, vamos ver se isso faz sentido. Se rearranjarmos, teríamos integral0^3 e^x^2 dx + integral3^5 e^x^2 dx = integral0^5 e^x^2 dx, que está correto. Porém, o enunciado original usou c = 5 fora do intervalo, o que não está de acordo com a propriedade das integrais definidas.

Passo 6

Portanto, a igualdade apresentada no enunciado está incorreta porque tenta dividir a integral em um ponto que não está dentro do intervalo de integração original.

Resposta

Falso. A igualdade não é válida porque o ponto de divisão 5 não está entre 0 e 3, violando as propriedades das integrais definidas.

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