Uma associação comercial afirma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60 . Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância
. Pede-se:
a) Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de
de probabilidade?
b) Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?
a) Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de
b) Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?
Passo 1
O enunciado dá um resultado antes da campanha e um resultado após a campanha e pede que a gente verifique se houve redução significativa do número médio de dias perdidos. Dados e perguntas que o exercício fornece:
- Valor médio sob a hipótese inicial:
dias. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada um ano após a campanha:
dias. - Variância populacional conhecida:
. Logo, o desvio-padrão populacional é . - Pressuposto: o número de dias perdidos é normalmente distribuído.
- Pergunta (a): Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de significância
? - Pergunta (b): Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha foi eficaz?
Não começo a resolver aqui; só listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Formulamos o teste de hipótese (interpretação do pedido): queremos saber se a campanha reduziu a média, ou seja, testar se a média populacional após a campanha é menor que
. As hipóteses são:
Comentário didático: aqui o teste é unilateral à esquerda porque a campanha só é considerada “eficaz” se reduzir a média (não nos interessa detectar aumento). Rejeitar
indica evidência de que a média populacional é menor que 60.
Passo 3
Escolha do teste e estatística: como a variância populacional
é conhecida e a variável é normal (ou
grande), usamos o teste-z (teste sobre a média com σ conhecido). A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Explicando a fórmula:
-
é a média amostral observada (aqui ). -
é a média sob (aqui ). -
é o desvio-padrão populacional (aqui ). -
é o erro padrão da média: quantifica a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional.
Sob
,
segue a distribuição normal padrão
.
Passo 4
Cálculo numérico da estatística de teste (passo a passo):
Calcule o desvio-padrão populacional:
Calcule o erro padrão da média:
Agora numérico:
Calcule
:
Interpretação didática: o valor
mede quantos desvios-padrão o valor observado
está abaixo da média hipotética
. Aqui está cerca de
desvios-padrão abaixo.
Passo 5
Resposta da parte (a) — comparação com o nível de significância
:
Para um teste unilateral à esquerda com nível
(ou seja,
), o valor crítico da normal padrão é
porque
.
Regra de decisão: rejeitamos
se
. Comparando:
Como
, não caímos na região crítica. Portanto, ao nível
não há evidência suficiente para rejeitar
. Em palavras simples: com um critério tão rigoroso (1%), a redução observada para média
dias não é estatisticamente significativa.
Passo 6
Resposta da parte (b) — cálculo do p-valor e interpretação do nível de significância mínimo:
O p-valor para um teste unilateral à esquerda é
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão.
Calculando:
Usando a simetria da normal (ou tabela/calculadora):
. Consultando tabela ou calculadora para
obtemos aproximadamente
. Logo
Interpretação didática do p-valor: o p-valor é a menor significância na qual rejeitaríamos
. Aqui
significa que se aceitarmos um risco de erro tipo I de aproximadamente
(ou maior), a redução observada seria considerada estatisticamente significativa.
Consequência prática: ao nível de significância
(ou seja,
) rejeitaríamos
(porque
). Ao nível stricter como
não rejeitamos. Portanto o menor nível de significância para o qual podemos afirmar eficácia é aproximadamente
(ou seja, cerca de
); de modo prático podemos afirmar eficácia ao nível de
.
Resposta
(a) Não, não se pode afirmar que a campanha foi eficaz ao nível
.
(b) ; portanto a campanha pode ser considerada eficaz a partir de um nível de significância de aproximadamente
(ou seja, ao nível prático de
).
(b)