Uma associação comercial afirma que o número médio de dias de trabalho perdidos anualmente, devido a problemas de saúde, é igual a 60 . Uma extensa campanha educacional visando a conscientizar os trabalhadores quanto a importância de uma alimentação balanceada, higiene pessoal, prática de esportes etc, foi conduzida com o intuito de melhorar este quadro. Um ano após esta campanha, um estudo com 30 trabalhadores forneceu média igual a 55 dias. Assuma que o número de dias de trabalho perdidos anualmente é normalmente distribuído com variância \sigma^{2}=275. Pede-se:
a) Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de \alpha=1 \% de probabilidade?
b) Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha educacional foi eficaz?

Passo 1

O enunciado dá um resultado antes da campanha e um resultado após a campanha e pede que a gente verifique se houve redução significativa do número médio de dias perdidos. Dados e perguntas que o exercício fornece:
  • Valor médio sob a hipótese inicial: \mu_0 = 60 dias.
  • Tamanho da amostra: n = 30.
  • Média amostral observada um ano após a campanha: \bar{x} = 55 dias.
  • Variância populacional conhecida: \sigma^{2} = 275. Logo, o desvio-padrão populacional é \sigma = \sqrt{275}.
  • Pressuposto: o número de dias perdidos é normalmente distribuído.
  • Pergunta (a): Pode-se afirmar que a campanha foi eficaz ao nível de significância \alpha = 1\%?
  • Pergunta (b): Para qual nível de significância se pode afirmar que a campanha foi eficaz?
Não começo a resolver aqui; só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Formulamos o teste de hipótese (interpretação do pedido): queremos saber se a campanha reduziu a média, ou seja, testar se a média populacional após a campanha é menor que \mu_0. As hipóteses são:
H_0:\\ \mu = \mu_0 = 60
H_a:\\ \mu < 60
Comentário didático: aqui o teste é unilateral à esquerda porque a campanha só é considerada “eficaz” se reduzir a média (não nos interessa detectar aumento). Rejeitar H_0 indica evidência de que a média populacional é menor que 60.

Passo 3

Escolha do teste e estatística: como a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e a variável é normal (ou n grande), usamos o teste-z (teste sobre a média com σ conhecido). A estatística de teste é a padronização da média amostral:
Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
Explicando a fórmula:
  • \bar{X} é a média amostral observada (aqui \bar{x}=55).
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 60).
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sqrt{275}).
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média: quantifica a variabilidade esperada da média amostral em torno da média populacional.
Sob H_0, Z segue a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Cálculo numérico da estatística de teste (passo a passo):
Calcule o desvio-padrão populacional:
\sigma = \sqrt{275} \approx 16{,}58312395.
Calcule o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{275}}{\sqrt{30}}.ã
Agora numérico:
\sqrt{30} \approx 5{,}47722558,
\frac{\sqrt{275}}{\sqrt{30}} \approx \frac{16{,}58312395}{5{,}47722558} \approx 3{,}028046.
Calcule Z:
Z_{\text{obs}} = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{55-60}{3{,}028046} = \frac{-5}{3{,}028046} \approx -1{,}65104.
Interpretação didática: o valor Z_{\text{obs}} mede quantos desvios-padrão o valor observado \bar{x} está abaixo da média hipotética 60. Aqui está cerca de 1{,}65 desvios-padrão abaixo.

Passo 5

Resposta da parte (a) — comparação com o nível de significância \alpha = 1\%:
Para um teste unilateral à esquerda com nível \alpha = 0{,}01 (ou seja, \alpha = 1\%), o valor crítico da normal padrão é
z_{\alpha} = z_{0{,}01} \approx -2{,}3263,
porque P(Z \le z_{0{,}01}) = 0{,}01.
Regra de decisão: rejeitamos H_0 se Z_{\text{obs}} \le z_{0{,}01}. Comparando:
Z_{\text{obs}} \approx -1{,}65104 \quad\text{e}\quad z_{0{,}01} \approx -2{,}3263.
Como -1{,}65104 > -2{,}3263, não caímos na região crítica. Portanto, ao nível \alpha = 1\% não há evidência suficiente para rejeitar H_0. Em palavras simples: com um critério tão rigoroso (1%), a redução observada para média 55 dias não é estatisticamente significativa.

Passo 6

Resposta da parte (b) — cálculo do p-valor e interpretação do nível de significância mínimo:
O p-valor para um teste unilateral à esquerda é
\text{p-valor} = P(Z \le Z_{\text{obs}}) = \Phi(Z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
Calculando:
\text{p-valor} = \Phi(-1{,}65104).
Usando a simetria da normal (ou tabela/calculadora): \Phi(-a)=1-\Phi(a). Consultando tabela ou calculadora para a=1{,}65104 obtemos aproximadamente \Phi(1{,}65104)\approx 0{,}9506. Logo
\text{p-valor} \approx 1 - 0{,}9506 = 0{,}0494.
Interpretação didática do p-valor: o p-valor é a menor significância na qual rejeitaríamos H_0. Aqui \text{p-valor}\approx 0{,}0494 significa que se aceitarmos um risco de erro tipo I de aproximadamente 4{,}94\% (ou maior), a redução observada seria considerada estatisticamente significativa.
Consequência prática: ao nível de significância \alpha = 5\% (ou seja, 0{,}05) rejeitaríamos H_0 (porque 0{,}0494 < 0{,}05). Ao nível stricter como \alpha = 1\% não rejeitamos. Portanto o menor nível de significância para o qual podemos afirmar eficácia é aproximadamente \alpha \approx 0{,}0494 (ou seja, cerca de 4{,}94\%); de modo prático podemos afirmar eficácia ao nível de 5\%.

Resposta

(a) Não, não se pode afirmar que a campanha foi eficaz ao nível \alpha = 0{,}01.
(b) \text{p-valor} \approx 0{,}0494; portanto a campanha pode ser considerada eficaz a partir de um nível de significância de aproximadamente \alpha \approx 0{,}0494 (ou seja, ao nível prático de 5\%).

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