Uma empresa de lavagem a seco nos Estados Unidos deve cumprir diversas regulamentações governamentais, como a Lei Federal de Águas Limpas (Clean Water Act) e a Lei de Poluição por Petróleo (Oil Pollution Act). Algumas dessas regulamentações são baseadas na capacidade de armazenamento de solventes derivados de petróleo acima do solo. Uma amostra aleatória de empresas de lavagem a seco em Tacoma, Washington, foi obtida. A capacidade de armazenamento de solventes derivados de petróleo (em galões) de cada uma é apresentada na tabela abaixo.
770 875 850 1000 830 980
800 950 940 1125 925 1100
Encontre estimativas pontuais para a média populacional da capacidade de armazenamento de solventes derivados de petróleo e para a mediana populacional da capacidade de armazenamento de solventes derivados de petróleo.

Passo 1

O enunciado pede estimativas pontuais para a média populacional e para a mediana populacional da capacidade de armazenamento (em galões), usando a amostra aleatória fornecida. Os dados da amostra (retirados da tabela do enunciado) são:
770,\;875,\;850,\;1000,\;830,\;980,\;800,\;950,\;940,\;1125,\;925,\;1100.
Anotei que esses são n observações amostrais (uma amostra única).

Passo 2

Contar quantas observações temos para obter o tamanho da amostra n. Das observações listadas:
n = 12.
Vou usar n= 12 nas fórmulas seguintes.

Passo 3

Estimativa pontual para a média populacional: usamos a média amostral \bar{x}. A fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i representa cada observação da amostra e n é o número total de observações. A média amostral é um estimador natural da média populacional porque soma todas as observações e divide pelo número de observações, dando um “valor médio” representativo da amostra.

Passo 4

Calcular a soma das observações e a média. Somando as observações (agrupando para facilitar):
\begin{aligned} &770+875+850+1000+830+980 = 5305,\\\ &800+950+940+1125+925+1100 = 5840,\\\ &\text{então a soma total } \sum_{i=1}^{12} x_i = 5305+5840 = 11145. \end{aligned}ã
Agora aplicamos a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{11145}{12}=928{,}75.
Interpretação: a estimativa pontual para a média populacional da capacidade é \bar{x}=928{,}75 galões.

Passo 5

Estimativa pontual para a mediana populacional: usamos a mediana amostral, que é o estimador natural da mediana populacional. Procedimento para encontrar a mediana:
  1. ordenar os dados em ordem crescente; 2) se n for ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}; se n for par, a mediana é a média dos dois valores centrais (posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1).

Passo 6

Ordenar os dados (usei os números dados na tabela para gerar esta ordem crescente):
770,\;800,\;830,\;850,\;875,\;925,\;940,\;950,\;980,\;1000,\;1100,\;1125.
Como n= 12 é par, a mediana amostral é a média dos elementos nas posições \frac{n}{2}=6 e \frac{n}{2}+1=7, ou seja, dos valores 925 e 940. Calculamos:
\text{mediana}=\frac{925+940}{2}=\frac{1865}{2}=932{,}5.
Interpretação: a estimativa pontual para a mediana populacional da capacidade é 932{,}5 galões.

Resposta

Média (estimativa pontual): 928{,}75 galões
Mediana (estimativa pontual): 932{,}5 galões

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