3á Questão (3,25 pontos)
Uma empresa de engenharia elétrica utiliza um elevador automatizado para transportar módulos transformadores trifásicos entre os andares de sua linha de montagem de subestações compactas. O elevador suporta no máximo 40 transformadores por viagem, com capacidade de carga de 19.000 kg . Segundo medições técnicas cada transformador apresenta uma massa média de 460 kg , com desvio padrão de 18 kg , devido a pequenas variações em materiais magnéticos e carcaças metálicas. Cada transformador é transportado com uma estrutura de suporte e isolamento, que pesa, em média, 14 kg , com desvio padrão de 3 kg . As massas dos transformadores e das estruturas são variáveis independentes.
a) Qual a probabilidade de que o peso total de 40 transformadores com suas estruturas ultrapasse os 19.000 kg permitidos pelo elevador?
b) Para um novo projeto de elevador, determine qual deve ser a capacidade máxima de carga para que, com
de confiança, o peso total de 40 transformadores com estruturas não ultrapasse essa capacidade.
c) Suponha que, por aumento na produção, o número de transformadores por viagem aumente para 45 unidades, mantendo a capacidade de carga em 19.000 kg . Qual a probabilidade de sobrecarga nesse cenário?
d) Dados de qualidade mostram que, em média,
dos transformadores são rejeitados por falhas na isolação ou assimetria de fase. Se forem montados 60 transformadores, qual a probabilidade de que pelo menos 54 estejam aptos ao transporte?
Dower.
© Samed with
a) Qual a probabilidade de que o peso total de 40 transformadores com suas estruturas ultrapasse os 19.000 kg permitidos pelo elevador?
b) Para um novo projeto de elevador, determine qual deve ser a capacidade máxima de carga para que, com
c) Suponha que, por aumento na produção, o número de transformadores por viagem aumente para 45 unidades, mantendo a capacidade de carga em 19.000 kg . Qual a probabilidade de sobrecarga nesse cenário?
d) Dados de qualidade mostram que, em média,
Dower.
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Passo 1
O enunciado dá informações sobre massas de transformadores e estruturas, e pede probabilidades e uma capacidade segura. Vou listar com clareza o que é dado e o que cada item pede:
Dados (peguei todos do enunciado):
- Número de transformadores por viagem inicialmente:
. - Capacidade do elevador:
kg. - Massa de cada transformador: média
kg e desvio padrão kg. - Massa da estrutura por transformador: média
kg e desvio padrão kg. - As massas
e são variáveis aleatórias independentes. - Em outro cenário, o número de transformadores por viagem passa a ser
. - Informações de qualidade: probabilidade de rejeição de um transformador é
(logo probabilidade de apto ). Será considerado um lote de transformadores.
O que se pede:
(a) A probabilidade de que o peso total de transformadores com suas estruturas ultrapasse
kg.
(b) Para um novo elevador, determinar a capacidade máxima de carga tal que, com de confiança, o peso total de
transformadores com estruturas não ultrapasse essa capacidade.
(c) Com transformadores por viagem e capacidade
kg, qual a probabilidade de sobrecarga?
(d) Se forem montados transformadores e
são rejeitados, qual a probabilidade de que pelo menos
estejam aptos ao transporte?
(a) A probabilidade de que o peso total de
(b) Para um novo elevador, determinar a capacidade máxima de carga tal que, com
(c) Com
(d) Se forem montados
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Modelagem do problema e fórmulas básicas (explicando passo a passo as ideias que vou usar).
- Massa total de um par “transformador + estrutura”. Como são independentes, se
é a massa do transformador e a da estrutura, a massa por unidade é
Para esperança e variância (propriedades básicas de esperança e variância para somas de variáveis independentes):
Aqui:
,
,
,
.
- Soma das massas de
unidades idênticas e independentes: . Então
e o desvio padrão de
é
.
- Aproximação pela normal (teorema central do limite, explicação amigável):
- Quando somamos muitas variáveis independentes com mesma distribuição razoavelmente bem comportada, a soma
tende a comportar-se como uma normal com média e variância . Aqui os são moderados (por exemplo ou ), então a aproximação normal é adequada. - Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização (calcular escore ):
e então
, onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Aproximação da binomial por normal (para a parte d): se
com grande, podemos aproximar por . Para maior precisão usa-se correção de continuidade substituindo evento por na padronização.
Agora aplico essas fórmulas aos itens.
Passo 3
Cálculo das estatísticas básicas (massa média por unidade e variância) que vou usar em (a), (b) e (c).
- Média por unidade:
- Variância por unidade:
- Para
unidades:
Vou usar esses valores nos itens seguintes.
Passo 4
Item (a): probabilidade de que o peso total de
unidades ultrapasse
kg.
- Estatísticas para
:
- Queremos
. Padronizando:
- Usando a tabela (ou calculadora) da normal padrão:
Portanto
Interpretação rápida: cerca de
das viagens com
unidades vão exceder o limite de
kg — é uma chance considerável.
Passo 5
Item (b): capacidade máxima
tal que, com
de confiança, o peso total de
unidades não ultrapasse
.
Explicação do raciocínio: queremos
tal que
. Pela aproximação normal,
onde
é o quantil de ordem
da normal padrão (isto é,
). Valor tabelado:
.
Cálculo:
Interpretação: para ter
de certeza de não ultrapassar a capacidade em viagens de
unidades, deve-se projetar a capacidade em torno de
kg (arredondando para o kg mais próximo).
Passo 6
Item (c): agora
unidades por viagem, capacidade mantida em
kg. Qual a probabilidade de sobrecarga?
- Estatísticas para
:
- Queremos
. Padronizando:
- Avaliando a normal:
é uma quantidade essencialmente zero (muito, muito próxima de ). Assim
Interpretação: com
unidades é praticamente certo (probabilidade extremamente próxima de
) que a carga ultrapasse
kg — ou seja, sobrecarga praticamente garantida.
Passo 7
Item (d): montam-se
transformadores;
são rejeitados em média. Qual a probabilidade de que pelo menos
estejam aptos ao transporte?
Modelagem: cada transformador tem probabilidade de estar apto
. Se
é o número de aptos em
, então
.
Como
é relativamente grande, uso aproximação normal para a binomial com correção de continuidade (explico porque: a binomial é discreta; a normal é contínua, e a correção melhora a aproximação).
- Parâmetros:
- Queremos
. Com correção de continuidade isso vira aproximadamente
Padronizando:
- Avaliando a normal:
portanto
Interpretação: existe cerca de
de chance de que pelo menos
dos
transformadores estejam aptos.
Resposta
(a)
(b) (aprox.
kg)
(c) aproximadamente (praticamente
)
(d)
(b)
(c) aproximadamente
(d)