3á Questão (3,25 pontos)

Uma empresa de engenharia elétrica utiliza um elevador automatizado para transportar módulos transformadores trifásicos entre os andares de sua linha de montagem de subestações compactas. O elevador suporta no máximo 40 transformadores por viagem, com capacidade de carga de 19.000 kg . Segundo medições técnicas cada transformador apresenta uma massa média de 460 kg , com desvio padrão de 18 kg , devido a pequenas variações em materiais magnéticos e carcaças metálicas. Cada transformador é transportado com uma estrutura de suporte e isolamento, que pesa, em média, 14 kg , com desvio padrão de 3 kg . As massas dos transformadores e das estruturas são variáveis independentes.
a) Qual a probabilidade de que o peso total de 40 transformadores com suas estruturas ultrapasse os 19.000 kg permitidos pelo elevador?
b) Para um novo projeto de elevador, determine qual deve ser a capacidade máxima de carga para que, com 99 \% de confiança, o peso total de 40 transformadores com estruturas não ultrapasse essa capacidade.
c) Suponha que, por aumento na produção, o número de transformadores por viagem aumente para 45 unidades, mantendo a capacidade de carga em 19.000 kg . Qual a probabilidade de sobrecarga nesse cenário?
d) Dados de qualidade mostram que, em média, 12 \% dos transformadores são rejeitados por falhas na isolação ou assimetria de fase. Se forem montados 60 transformadores, qual a probabilidade de que pelo menos 54 estejam aptos ao transporte?
Dower.
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Passo 1

O enunciado dá informações sobre massas de transformadores e estruturas, e pede probabilidades e uma capacidade segura. Vou listar com clareza o que é dado e o que cada item pede:
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Número de transformadores por viagem inicialmente: 40.
  • Capacidade do elevador: 19\,000 kg.
  • Massa de cada transformador: média \mu_X = 460 kg e desvio padrão \sigma_X = 18 kg.
  • Massa da estrutura por transformador: média \mu_Y = 14 kg e desvio padrão \sigma_Y = 3 kg.
  • As massas X e Y são variáveis aleatórias independentes.
  • Em outro cenário, o número de transformadores por viagem passa a ser 45.
  • Informações de qualidade: probabilidade de rejeição de um transformador é 12\% (logo probabilidade de apto =88\%). Será considerado um lote de 60 transformadores.
O que se pede:
(a) A probabilidade de que o peso total de 40 transformadores com suas estruturas ultrapasse 19\,000 kg.
(b) Para um novo elevador, determinar a capacidade máxima de carga tal que, com 99\% de confiança, o peso total de 40 transformadores com estruturas não ultrapasse essa capacidade.
(c) Com 45 transformadores por viagem e capacidade 19\,000 kg, qual a probabilidade de sobrecarga?
(d) Se forem montados 60 transformadores e 12\% são rejeitados, qual a probabilidade de que pelo menos 54 estejam aptos ao transporte?
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Modelagem do problema e fórmulas básicas (explicando passo a passo as ideias que vou usar).
  1. Massa total de um par “transformador + estrutura”. Como são independentes, se X é a massa do transformador e Y a da estrutura, a massa por unidade é
Z = X + Y.
Para esperança e variância (propriedades básicas de esperança e variância para somas de variáveis independentes):
\mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y] = \mu_X + \mu_Y,
\mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2.
Aqui: \mu_X = 460, \mu_Y = 14, \sigma_X^2 = 18^2, \sigma_Y^2 = 3^2.
  1. Soma das massas de n unidades idênticas e independentes: S_n = \sum_{i=1}^n Z_i. Então
\mathbb{E}[S_n] = n\,\mathbb{E}[Z],
\mathrm{Var}(S_n) = n\,\mathrm{Var}(Z),
e o desvio padrão de S_n é \sigma_{S_n} = \sqrt{n\,\mathrm{Var}(Z)}.
  1. Aproximação pela normal (teorema central do limite, explicação amigável):
  • Quando somamos muitas variáveis independentes com mesma distribuição razoavelmente bem comportada, a soma S_n tende a comportar-se como uma normal com média \mathbb{E}[S_n] e variância \mathrm{Var}(S_n). Aqui os n são moderados (por exemplo 40 ou 45), então a aproximação normal é adequada.
  • Para calcular probabilidades do tipo \mathbb{P}(S_n > a) usamos a padronização (calcular escore z):
z = \frac{a - \mathbb{E}[S_n]}{\sigma_{S_n}},
e então \mathbb{P}(S_n > a) \approx 1 - \Phi(z), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  1. Aproximação da binomial por normal (para a parte d): se K\sim \mathrm{Bin}(n,p) com n grande, podemos aproximar por N(np,\;np(1-p)). Para maior precisão usa-se correção de continuidade substituindo evento K\ge k por K\ge k-0,5 na padronização.
Agora aplico essas fórmulas aos itens.

Passo 3

Cálculo das estatísticas básicas (massa média por unidade e variância) que vou usar em (a), (b) e (c).
  1. Média por unidade:
\mathbb{E}[Z] = \mu_X + \mu_Y = 460 + 14 = 474\\ \text{kg}.
  1. Variância por unidade:
\mathrm{Var}(Z) = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 18^2 + 3^2 = 324 + 9 = 333\\ \text{(kg)}^2.
  1. Para n unidades:
\mathbb{E}[S_n] = n\cdot 474, \qquad \mathrm{Var}(S_n) = n\cdot 333, \qquad \sigma_{S_n} = \sqrt{n\cdot 333}.
Vou usar esses valores nos itens seguintes.

Passo 4

Item (a): probabilidade de que o peso total de 40 unidades ultrapasse 19\,000 kg.
  1. Estatísticas para n=40:
\mathbb{E}[S_{40}] = 40\cdot 474 = 18\,960\\ \text{kg},
\sigma_{S_{40}} = \sqrt{40\cdot 333} = \sqrt{13\,320}\approx 115,41\\ \text{kg}.
  1. Queremos \mathbb{P}(S_{40} > 19\,000). Padronizando:
z = \frac{19\,000 - 18\,960}{115,41} = \frac{40}{115,41}\approx 0,3466.
  1. Usando a tabela (ou calculadora) da normal padrão:
\Phi(0,3466)\approx 0,6364.
Portanto
\mathbb{P}(S_{40} > 19\,000) \approx 1 - 0,6364 = 0,3636.
Interpretação rápida: cerca de 36{,}4\% das viagens com 40 unidades vão exceder o limite de 19\,000 kg — é uma chance considerável.

Passo 5

Item (b): capacidade máxima C tal que, com 99\% de confiança, o peso total de 40 unidades não ultrapasse C.
Explicação do raciocínio: queremos C tal que \mathbb{P}(S_{40} \le C) = 0,99. Pela aproximação normal,
C = \mathbb{E}[S_{40}] + z_{0,99}\,\sigma_{S_{40}},
onde z_{0,99} é o quantil de ordem 0{,}99 da normal padrão (isto é, \Phi(z_{0,99})=0{,}99). Valor tabelado: z_{0,99}\approx 2,3263.
Cálculo:
C = 18\,960 + 2,3263\cdot 115,41 \approx 18\,960 + 268,47 \approx 19\,228,5\\ \text{kg}.
Interpretação: para ter 99\% de certeza de não ultrapassar a capacidade em viagens de 40 unidades, deve-se projetar a capacidade em torno de 19\,229 kg (arredondando para o kg mais próximo).

Passo 6

Item (c): agora n=45 unidades por viagem, capacidade mantida em 19\,000 kg. Qual a probabilidade de sobrecarga?
  1. Estatísticas para n=45:
\mathbb{E}[S_{45}] = 45\cdot 474 = 21\,330\\ \text{kg},
\sigma_{S_{45}} = \sqrt{45\cdot 333} = \sqrt{14\,985}\approx 122,41\\ \text{kg}.
  1. Queremos \mathbb{P}(S_{45} > 19\,000). Padronizando:
z = \frac{19\,000 - 21\,330}{122,41} = \frac{-2\,330}{122,41}\approx -19,03.
  1. Avaliando a normal: \Phi(-19,03) é uma quantidade essencialmente zero (muito, muito próxima de 0). Assim
\mathbb{P}(S_{45} > 19\,000) \approx 1 - \Phi(-19,03) \approx 1.
Interpretação: com 45 unidades é praticamente certo (probabilidade extremamente próxima de 100\%) que a carga ultrapasse 19\,000 kg — ou seja, sobrecarga praticamente garantida.

Passo 7

Item (d): montam-se 60 transformadores; 12\% são rejeitados em média. Qual a probabilidade de que pelo menos 54 estejam aptos ao transporte?
Modelagem: cada transformador tem probabilidade de estar apto p=1-0{,}12=0{,}88. Se K é o número de aptos em n=60, então K\sim \mathrm{Bin}(60,0{,}88).
Como n é relativamente grande, uso aproximação normal para a binomial com correção de continuidade (explico porque: a binomial é discreta; a normal é contínua, e a correção melhora a aproximação).
  1. Parâmetros:
\mathbb{E}[K] = np = 60\cdot 0{,}88 = 52{,}8,
\mathrm{Var}(K) = np(1-p) = 60\cdot 0{,}88\cdot 0{,}12 = 6{,}336,
\sigma_K = \sqrt{6{,}336}\approx 2{,}516.
  1. Queremos \mathbb{P}(K \ge 54). Com correção de continuidade isso vira aproximadamente
\mathbb{P}(K \ge 54) \approx \mathbb{P}\big(K \ge 53{,}5\big).
Padronizando:
z = \frac{53{,}5 - 52{,}8}{2{,}516} = \frac{0{,}7}{2{,}516}\approx 0{,}2782.
  1. Avaliando a normal:
\Phi(0{,}2782)\approx 0{,}6096,
portanto
\mathbb{P}(K \ge 54) \approx 1 - 0{,}6096 = 0{,}3904.
Interpretação: existe cerca de 39{,}0\% de chance de que pelo menos 54 dos 60 transformadores estejam aptos.

Resposta

(a) 0,3636
(b) 19\,228{,}5\\ \text{kg} (aprox. 19\,229 kg)
(c) aproximadamente 1{,}00 (praticamente 100\%)
(d) 0,3904

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