Associe as equações paramétricas aos gráficos de I-VI. Dê razões para suas escolhas. (Não use uma ferramenta gráfica.)
(d) x=\cos 5 t, y=\operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O item (d) nos dá as equações paramétricas
x = \cos(5t), \quad y = \sin(2t).
Esse tipo de curva é um Lissajous de razões de frequência horizontal–vertical 5:2. Para identificá-la no conjunto de gráficos I–VI, vamos contar quantas vezes ela cruza os eixos coordenados e verificar o número de “lobos” horizontais e verticais.

Passo 2

Note que cada vez que x=0 a curva cruza o eixo y. Como
x=0 \iff \cos(5t)=0 \iff 5t = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff t = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5},
num período completo 0\le t<2\pi obtemos exatamente 5 valores distintos de t. Logo, a curva cruza o eixo vertical 5 vezes.

Passo 3

Analogamente, cada vez que y=0 ela cruza o eixo x. Como
y=0 \iff \sin(2t)=0 \iff 2t = k\pi \iff t = \frac{k\pi}{2},
num período 0\le t<2\pi há exatamente 4 valores de t, mas dois deles coincidem com extremos repetidos no mesmo ponto. Na prática ela forma 2 “meios-lobos” acima e abaixo do eixo x, ou seja, vemos 2 voltas verticais (duas vezes sobe até y=1 e duas vezes desce até y=-1).

Passo 4

Procuramos o gráfico entre I–VI que apresenta
\bullet 5 cruzamentos com o eixo y,
\bullet 2 oscilações completas no sentido vertical,
• forma um “S” com lobo único à esquerda e uma “alça” final à direita.
Dentre as figuras I–VI, só a figura VI tem exatamente 5 interseções na vertical e 2 voltas verticais, com esse formato de Lissajous 5:2.

Resposta

(d) corresponde ao gráfico VI.

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