(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado dá as parametrizações
para
, e pede: (a) eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana; (b) esboçar a curva e indicar a direção de percurso conforme
aumenta.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
com
. Substituindo:
logo
Além disso, como
varia de
a
, temos
, isto é,
.
Passo 3
Para entender a orientação, calculamos os pontos iniciais e finais:
- Em
, , daí
- Em
, , obtém-se . - Em
, , obtém-se .
Portanto, à medida quecresce de a , o ponto percorre o semicírculo superior de a , passando por .
Passo 4
O esboço é o semicírculo de raio 1 centrado na origem, acima do eixo
. A seta começa em
, sobe até
e desce até
, indicando o percurso conforme
aumenta.
Resposta
(a)
(b) Semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, traçado de para
passando por
. A seta aponta nesse sentido.
(b) Semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, traçado de