(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=\operatorname{sen} \frac{1}{2} \theta, \quad y=\cos \frac{1}{2} \theta, \quad-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x=\sin\!\bigl(\tfrac12\theta\bigr), \quad y=\cos\!\bigl(\tfrac12\theta\bigr),
para -\pi\le\theta\le\pi, e pede: (a) eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana; (b) esboçar a curva e indicar a direção de percurso conforme \theta aumenta.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica \sin^2 t + \cos^2 t = 1 com t=\tfrac12\theta. Substituindo:
\bigl(\sin(\tfrac12\theta)\bigr)^2 + \bigl(\cos(\tfrac12\theta)\bigr)^2 = 1
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x^2 + y^2 = 1.
Além disso, como \tfrac12\theta varia de -\tfrac\pi2 a \tfrac\pi2, temos \cos(\tfrac12\theta)\ge0, isto é, y\ge0.

Passo 3

Para entender a orientação, calculamos os pontos iniciais e finais:
  • Em \theta=-\pi, \tfrac12\theta=-\tfrac\pi2, daí
    (x,y)=\bigl(\sin(-\tfrac\pi2),\cos(-\tfrac\pi2)\bigr)=(-1,0).
  • Em \theta=0, \tfrac12\theta=0, obtém-se (0,1).
  • Em \theta=\pi, \tfrac12\theta=\tfrac\pi2, obtém-se (1,0).
    Portanto, à medida que \theta cresce de -\pi a \pi, o ponto percorre o semicírculo superior de (-1,0) a (1,0), passando por (0,1).

Passo 4

O esboço é o semicírculo de raio 1 centrado na origem, acima do eixo x. A seta começa em (-1,0), sobe até (0,1) e desce até (1,0), indicando o percurso conforme \theta aumenta.

Resposta

(a) \;x^2 + y^2 = 1,\;y\ge0.
(b) Semicírculo superior de raio 1 centrado na origem, traçado de (-1,0) para (1,0) passando por (0,1). A seta aponta nesse sentido.

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