Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=x(0<x<2 \pi)

Passo 1

Estamos procurando a série de Fourier complexa de uma função f de período 2\pi definida por
f(x)=x,\quad 0<x<2\pi.
O formato geral dessa série é
f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,e^{ikx},
onde
c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,e^{-ikx}\,dx.
Vamos calcular primeiro c_0 e depois c_k para k\neq0.

Passo 2

Cálculo de c_0.
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}x\,dx =\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{(2\pi)^2}{2} =\pi.

Passo 3

Cálculo de c_k para k\neq0 usando integração por partes. Tome
u = x,\quad dv = e^{-ikx}dx
du = dx,\quad v = \frac{e^{-ikx}}{-ik}.
Então
\int_{0}^{2\pi}x\,e^{-ikx}dx =\left.\frac{x\,e^{-ikx}}{-ik}\right|_{0}^{2\pi} -\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{-ikx}}{-ik}\,dx.
O termo de fronteira é
\left.\frac{x\,e^{-ikx}}{-ik}\right|_{0}^{2\pi} =\frac{2\pi\,e^{-ik2\pi}}{-ik}-0 =-\frac{2\pi}{ik},
pois e^{-ik2\pi}=1. E o restante é
-\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{-ikx}}{-ik}\,dx =\frac{1}{ik}\int_{0}^{2\pi}e^{-ikx}dx =\frac{1}{ik}\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{(ik)^2}\bigl(e^{-ik2\pi}-1\bigr)=0.
Logo
\int_{0}^{2\pi}x\,e^{-ikx}dx=-\frac{2\pi}{ik}.

Passo 4

Agora
c_k =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}x\,e^{-ikx}dx =\frac{1}{2\pi}\Bigl(-\frac{2\pi}{ik}\Bigr) =-\frac{1}{ik} =\frac{i}{k}.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier complexa é
f(x) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,e^{ikx} =c_0+\sum_{\substack{k=-\infty\k\neq0}}^{\infty}\frac{i}{k}\,e^{ikx} =\pi+\sum_{\substack{k=-\infty\k\neq0}}^{\infty}\frac{i}{k}\,e^{ikx}.

Resposta

f(x)=x=\pi+\sum_{\substack{k=-\infty\k\neq0}}^{\infty}\frac{i}{k}\,e^{ikx}.

Exercícios relacionados