Assuma que o diâmetro dos parafusos de certa marca é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal. Durante uma inspeção, escolheram-se ao acaso 40 parafusos da marca em questão e mediu-se o diâmetro de cada parafuso. A média e variância amostral foram de 10 mm e 1,98 mm^2, respectivamente. Construa um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão da variável aleatória em questão.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que precisamos fazer: queremos construir um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos diâmetros dos parafusos. Sabemos que os diâmetros seguem uma distribuição normal, e temos uma amostra de 40 parafusos com média de 10 mm e variância amostral de 1,98 mm². Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, como estamos tratando da variância e do desvio padrão de uma distribuição normal, vamos utilizar a distribuição qui-quadrado (χ²) para construir nosso intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança da variância σ² é:
( (n-1)s²χ²1-α/2, (n-1)s²χ²α/2 ) ²²²²
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra (n = 40),
  • $ s² $ é a variância amostral (s² = 1,98 mm²),
  • $ χ²_{1-α/2} $ e $ χ²_{α/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os graus de liberdade $ n-1 $.

Passo 3

Vamos calcular os graus de liberdade, que são $ df = n - 1 = 40 - 1 = 39 $.
Para um intervalo de confiança de 95%, o nível de significância $ α = 0,05 $. Portanto, $ α/2 = 0,025 $.
Precisamos encontrar os valores críticos $ χ²_{0,025;39} $ e $ χ²_{0,975;39} $ na tabela da distribuição qui-quadrado.

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado, encontramos:
  • $ χ²_{0,025;39} ≈ 57,153 $
  • $ χ²_{0,975;39} ≈ 23,659 $

Passo 5

Agora, vamos aplicar esses valores na fórmula do intervalo de confiança para a variância:
( (40-1) times 1,9857,153, (40-1) times 1,9823,659 )
Calculando:
( 39 times 1,9857,153, 39 times 1,9823,659 ) ≈ ( 1,353 , mm², 3,261 , mm² ) ²²

Passo 6

Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio padrão $ σ $, basta tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo da variância:
σ

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos diâmetros dos parafusos está entre aproximadamente 1,164 mm e 1,806 mm.

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