Assuma que o diâmetro dos parafusos de certa marca é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal. Durante uma inspeção, escolheram-se ao acaso 40 parafusos da marca em questão e mediu-se o diâmetro de cada parafuso. A média e variância amostral foram de 10 mm e
, respectivamente. Construa um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão da variável aleatória em questão.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que precisamos fazer: queremos construir um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos diâmetros dos parafusos. Sabemos que os diâmetros seguem uma distribuição normal, e temos uma amostra de 40 parafusos com média de 10 mm e variância amostral de 1,98 mm². Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, como estamos tratando da variância e do desvio padrão de uma distribuição normal, vamos utilizar a distribuição qui-quadrado (χ²) para construir nosso intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança da variância σ² é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra (n = 40),
- $ s² $ é a variância amostral (s² = 1,98 mm²),
- $ χ²_{1-α/2} $ e $ χ²_{α/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os graus de liberdade $ n-1 $.
Passo 3
Vamos calcular os graus de liberdade, que são $ df = n - 1 = 40 - 1 = 39 $.
Para um intervalo de confiança de 95%, o nível de significância $ α = 0,05 $. Portanto, $ α/2 = 0,025 $.
Precisamos encontrar os valores críticos $ χ²_{0,025;39} $ e $ χ²_{0,975;39} $ na tabela da distribuição qui-quadrado.
Passo 4
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado, encontramos:
- $ χ²_{0,025;39} ≈ 57,153 $
- $ χ²_{0,975;39} ≈ 23,659 $
Passo 5
Agora, vamos aplicar esses valores na fórmula do intervalo de confiança para a variância:
Calculando:
Passo 6
Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio padrão $ σ $, basta tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo da variância:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos diâmetros dos parafusos está entre aproximadamente 1,164 mm e 1,806 mm.