De uma produção de 200 chapas galvanizadas, escolheram-se, ao acaso, 16 delas e mediu-se a espessura de cada uma, resultado uma espessura média de 0,43 mm e um desvio padrão de 0,025 mm. Supondo que a espessura da chapa galvanizada tem distribuição normal: Se foi estabelecido que a espessura média não pode ultrapassar 0,45mm, você diria que a chapa galvanizada atende as necessidades? Por quê?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma produção de 200 chapas galvanizadas e selecionou 16 delas ao acaso para medir a espessura. A média dessas medidas foi de 0,43 mm, com um desvio padrão de 0,025 mm. Queremos saber se, com base nesses dados, a espessura média das chapas atende ao requisito de não ultrapassar 0,45 mm. Para resolver isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente um teste de hipóteses para a média, assumindo que a distribuição das espessuras é normal.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar. No teste de hipóteses, temos:
  • Hipótese nula (H₀): A média das espessuras é igual a 0,45 mm.
    H0: mu = 0,45 , mm
  • Hipótese alternativa (H₁): A média das espessuras é menor que 0,45 mm.
    H1: mu < 0,45 , mm
Estamos fazendo um teste unilateral à esquerda porque queremos saber se a média é menor que 0,45 mm.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico de teste. Como a amostra é pequena (n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos o t de Student. A fórmula para o t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx = 0,43 , mm (média da amostra)
  • mu0 = 0,45 , mm (média hipotética)
  • s = 0,025 , mm (desvio padrão da amostra)
  • n = 16 (tamanho da amostra)
Vamos substituir os valores:
t = 0,43 - 0,450,025raiz16 = -0,020,0254 = -0,020,00625 = -3,2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste. Como é um teste unilateral à esquerda com nível de significância padrão (vamos assumir 5%), e os graus de liberdade são n - 1 = 15, consultamos a tabela t de Student.
Para tcríticoí com 15 graus de liberdade e alpha = 0,05, o valor é aproximadamente -1,753.

Passo 5

Comparamos o estatístico de teste com o valor crítico:
  • Nosso t calculado é -3,2
  • O t crítico é -1,753
Como -3,2 < -1,753, isso significa que estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências estatísticas para afirmar que a espessura média das chapas galvanizadas não ultrapassa 0,45 mm, atendendo assim às necessidades estabelecidas.

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