Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
g) ) lim n infty tg(5n)tg(2n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim n infty tan(5n)tan(2n)
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que diz que:
lim x 0 sin xx = 1
Esse limite nos ajuda a simplificar expressões trigonométricas quando o ângulo está muito pequeno, como é o caso aqui com tendendo ao infinito e , tendendo a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
tan x = sin xcos x
Então, podemos reescrever nosso limite da seguinte maneira:
lim n infty sin(5n)cos(5n)sin(2n)cos(2n) = lim n infty sin(5n)sin(2n) cdot cos(2n)cos(5n)

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte desse produto separadamente. Sabemos que quando sin(5n)5n approx 1 e sin(2n)2n approx 1 tende ao infinito, sin(5n)sin(2n) approx 5n2n = 52 e cos(2n)cos(5n) approx 11 = 1 tendem a zero. Então podemos usar o limite fundamental trigonométrico.
Para a parte dos senos:
Isso nos dá:
Para a parte dos cossenos, sabemos que quando está perto de zero. Então:

Passo 4

Multiplicando as duas partes que simplificamos:
52 cdot 1 = 52

Resposta

O limite é igual a .

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