Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
d) lim n infty n(cos 1n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim n infty n(cos 1n-1). Esse exercício está na área de cálculo, especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que você já conhece: lim x 0 sen xx=1, além de algumas propriedades das funções trigonométricas e aproximações para valores pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando n tende para o infinito. Quando isso acontece, 1n tende para 0. Então, estamos calculando o limite de n vezes a diferença entre cos 1n e 1 quando 1n é muito pequeno.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de x, o cosseno pode ser aproximado pela expansão de Taylor em torno de 0:
cos x approx 1 - x^22
Essa aproximação é válida quando x é próximo de 0, o que é o nosso caso aqui, já que 1n tende para 0.

Passo 4

Vamos substituir x por 1n na aproximação:
cos 1n approx 1 - 12n^2
Então, a expressão original fica:
n(cos 1n - 1) approx n(1 - 12n^2 - 1) = n(-12n^2) = -12n

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de -12n quando n tende para o infinito:
lim n infty -12n = 0

Resposta

O limite é 0.

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