Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está na área de cálculo, especificamente no estudo de limites. Para resolver, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que você já conhece:
, além de algumas propriedades das funções trigonométricas e aproximações para valores pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
tende para o infinito. Quando isso acontece,
tende para
. Então, estamos calculando o limite de
vezes a diferença entre
e
quando
é muito pequeno.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
, o cosseno pode ser aproximado pela expansão de Taylor em torno de
:
Essa aproximação é válida quando
é próximo de
, o que é o nosso caso aqui, já que
tende para
.
Passo 4
Vamos substituir
por
na aproximação:
Então, a expressão original fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende para o infinito:
Resposta
O limite é
.