Assumindo-se o conhecimento acerca do Meio Contínuo, onde extraimos o menor Volume Observacional possível para determinação de suas propriedades de modo a ter o menor índice de incertezas, explique a relação entre gases e líquidos quando assumido o menor volume observado necessário para a análise do fluido e o que acontece quando esse volume é menor ou maior que o Volume Observacional Mínimo. (\mathbf{1 , 0})

Passo 1

O enunciado pede para discutir, no contexto do Meio Contínuo, como varia o Volume Observacional Mínimo ( V_{\min}) para líquidos e gases, e o que ocorre quando o volume de amostragem V_{\text{obs}} é menor ou maior que esse V_{\min}. Vamos usar conceitos de comprimento intermolecular e variância estatística para entender essas diferenças.

Passo 2

Definimos volume observacional mínimo V_{\min} como o menor volume que ainda contém grande número de moléculas ( N\gg1), de modo que as propriedades macroscópicas (densidade, velocidade, temperatura) apresentem flutuações negligenciáveis. Em termos de escala,
\bar r = distância média entre moléculas,
então tipicamente
V_{\min}\sim N_{\min}\,\bar r^{3},
com N_{\min}\approx10^{3} 10^{6} para garantir estatística suficiente.

Passo 3

Em líquidos as moléculas estão muito próximas, \bar r_{\text{liq}}\sim10^{-10}\,\text{m}, logo
V_{\min,\text{liq}}\sim N_{\min}\,(\bar r_{\text{liq}})^{3}
é bastante pequeno. Já em gases a distância média (ou caminho livre médio \lambda) é bem maior, \lambda\sim10^{-8} 10^{-7}\,\text{m}, de modo que
V_{\min,\text{gás}}\sim N_{\min}\,\lambda^{3}\gg V_{\min,\text{liq}}.á
Portanto, o volume mínimo necessário para adotar o continuum em gases é muito maior que em líquidos.

Passo 4

Quando o volume de observação satisfaz
V_{\text{obs}}\;>\;V_{\min},
tanto em líquidos quanto em gases, temos um número tão grande de moléculas que as variâncias relativas das grandezas macroscópicas ficam pequenas. Consequências:
  1. A densidade \rho(\mathbf{x}), velocidade \mathbf{v}(\mathbf{x}) e temperatura T(\mathbf{x}) podem ser tratadas como campos contínuos.
  2. As equações de Navier–Stokes (ou Euler, se desprezarmos viscosidade) são válidas.
  3. Os “ruídos” estatísticos estão amortecidos pela média sobre muitas moléculas.

Passo 5

Se o volume de observação cai abaixo do mínimo,
V_{\text{obs}}\;<\;V_{\min},
então o número de moléculas é insuficiente para garantir médias estáveis. Consequências:
  1. Flucruações estatísticas grandes nas medidas de \rho, \mathbf{v}, T.
  2. Quebra da hipótese de continuidade: as variáveis apresentam “saltos” e não são mais funções suaves de \mathbf{x}.
  3. Torna-se necessário recorrer a descrições microscópicas (mecânica estatística, simulações de Monte Carlo ou DSMC), pois as equações de continuum deixam de ser aplicáveis.

Resposta

O Volume Observacional Mínimo em gases é muito maior que em líquidos devido ao maior caminho livre médio das moléculas. Se o volume de observação excede V_{\min}, a hipótese de meio contínuo vale e as propriedades macroscópicas são suaves; se for menor, surgem grandes flutuações e é preciso usar modelos moleculares.

Exercícios relacionados