Assumindo-se o conhecimento acerca do Meio Contínuo, onde extraimos o menor Volume Observacional possível para determinação de suas propriedades de modo a ter o menor índice de incertezas, explique a relação entre gases e líquidos quando assumido o menor volume observado necessário para a análise do fluido e o que acontece quando esse volume é menor ou maior que o Volume Observacional Mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para discutir, no contexto do Meio Contínuo, como varia o Volume Observacional Mínimo (
) para líquidos e gases, e o que ocorre quando o volume de amostragem
é menor ou maior que esse
. Vamos usar conceitos de comprimento intermolecular e variância estatística para entender essas diferenças.
Passo 2
Definimos volume observacional mínimo
como o menor volume que ainda contém grande número de moléculas (
), de modo que as propriedades macroscópicas (densidade, velocidade, temperatura) apresentem flutuações negligenciáveis. Em termos de escala,
= distância média entre moléculas,
então tipicamente
então tipicamente
com
–
para garantir estatística suficiente.
Passo 3
Em líquidos as moléculas estão muito próximas,
, logo
é bastante pequeno. Já em gases a distância média (ou caminho livre médio
) é bem maior,
–
, de modo que
Portanto, o volume mínimo necessário para adotar o continuum em gases é muito maior que em líquidos.
Passo 4
Quando o volume de observação satisfaz
tanto em líquidos quanto em gases, temos um número tão grande de moléculas que as variâncias relativas das grandezas macroscópicas ficam pequenas. Consequências:
- A densidade
, velocidade e temperatura podem ser tratadas como campos contínuos. - As equações de Navier–Stokes (ou Euler, se desprezarmos viscosidade) são válidas.
- Os “ruídos” estatísticos estão amortecidos pela média sobre muitas moléculas.
Passo 5
Se o volume de observação cai abaixo do mínimo,
então o número de moléculas é insuficiente para garantir médias estáveis. Consequências:
- Flucruações estatísticas grandes nas medidas de
, , . - Quebra da hipótese de continuidade: as variáveis apresentam “saltos” e não são mais funções suaves de
. - Torna-se necessário recorrer a descrições microscópicas (mecânica estatística, simulações de Monte Carlo ou DSMC), pois as equações de continuum deixam de ser aplicáveis.
Resposta
O Volume Observacional Mínimo em gases é muito maior que em líquidos devido ao maior caminho livre médio das moléculas. Se o volume de observação excede
, a hipótese de meio contínuo vale e as propriedades macroscópicas são suaves; se for menor, surgem grandes flutuações e é preciso usar modelos moleculares.