(*) Assumindo que o crescimento decorrido num período de 15 dias para uma população de girassóis segue uma distribuição normal com média 3.18 cm e desvio padrão 0.53 cm , que percentagem de plantas cresce:
(a) 3 cm ou menos?
(b) 4 cm ou mais?
© entre 2.5 e 3.5 cm ?
(a) 3 cm ou menos?
(b) 4 cm ou mais?
© entre 2.5 e 3.5 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o crescimento de girassóis num período de 15 dias, que segue uma distribuição normal. A gente sabe que a média desse crescimento é de 3,18 cm e o desvio padrão é de 0,53 cm. A matéria que vamos precisar aqui é Estatística, mais especificamente sobre Distribuição Normal e Cálculo de Probabilidades. Nosso objetivo é descobrir a porcentagem de plantas que crescem em certos intervalos de altura.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição normal. É aquela famosa “curva de sino”, que mostra como os dados estão espalhados em torno da média. A maioria dos valores fica perto da média, e à medida que nos afastamos dela, os valores são menos frequentes. Para calcular as porcentagens que o exercício pede, vamos usar a fórmula do Z-score, que padroniza os valores na distribuição normal.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando,
- $ \mu $ é a média da distribuição,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Passo 3
Vamos resolver a parte (a): Qual a porcentagem de plantas que cresce 3 cm ou menos?
Primeiro, calculamos o Z-score para 3 cm.
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ Z = -0,34 $. Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, vemos que $ P(Z \leq -0,34) $ é aproximadamente 0,3669, ou 36,69%.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): Qual a porcentagem de plantas que cresce 4 cm ou mais?
Calculamos o Z-score para 4 cm.
Buscando na tabela, $ P(Z \geq 1,55) $ é igual a 1 menos a probabilidade de $ Z \leq 1,55 $. Se $ P(Z \leq 1,55) $ é aproximadamente 0,9394, então:
Ou seja, 6,06% das plantas crescem 4 cm ou mais.
Passo 5
Por fim, vamos resolver a parte ©: Qual a porcentagem de plantas que cresce entre 2,5 e 3,5 cm?
Primeiro, encontramos os Z-scores para 2,5 cm e 3,5 cm.
Para 2,5 cm:
Para 3,5 cm:
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
- $ P(Z \leq -1,28) \approx 0,1003 $
- $ P(Z \leq 0,60) \approx 0,7257 $
A porcentagem entre 2,5 e 3,5 cm é:
Ou seja, 62,54% das plantas crescem entre 2,5 e 3,5 cm.
Resposta
(a) Aproximadamente 36,69% das plantas crescem 3 cm ou menos.
(b) Aproximadamente 6,06% das plantas crescem 4 cm ou mais.
© Aproximadamente 62,54% das plantas crescem entre 2,5 e 3,5 cm.