Num estudo envolvendo uma certa espécie de ave, um dos interesses recai no número de ovos postos. Em 80 ninhos encontrados, o número médio de ovos por ninho foi 3.8 e a variância foi 3.1. Uma vez que a variância e a média são aproximadamente iguais, supõe-se que o número de ovos por ninho segue uma distribuição de Poisson com média 3.8. Se for esta realmente a distribuição populacional,
(a) Qual é a probabilidade de se encontrar um ninho com 4 ovos?
(b) Qual é a probabilidade de se encontrar um ninho com menos do que 3 ovos?
© Supondo que se acabou de encontrar um ninho com 6 ovos, qual a probabilidade de se voltar a encontrar um ninho com 6 ovos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição de Poisson! O enunciado fala sobre o número de ovos que certas aves colocam nos ninhos. A gente sabe que, em média, cada ninho tem 3.8 ovos e a variância é 3.1, que está bem próxima da média. Isso sugere que o número de ovos segue uma distribuição de Poisson. Vamos usar essa informação para responder às três perguntas do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. No nosso caso, os “eventos” são os ovos nos ninhos.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
  • $ \lambda $ é a média de eventos (neste caso, 3.8 ovos por ninho).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2.71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

(a) Qual é a probabilidade de se encontrar um ninho com 4 ovos?
Vamos usar a fórmula da Poisson com $ k = 4 $ e $ \lambda = 3.8 $:
k = 4
Calculando passo a passo:
  1. Calcular $ e^{-3.8} $:
    • $ e^{-3.8} \approx 0.0223 $
  2. Calcular $ 3.8^4 $:
    • $ 3.8^4 = 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \approx 208.5136 $
  3. Calcular $ 4! $:
    • $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $
  4. Substituir na fórmula:
    • $ P(4; 3.8) = \frac{0.0223 \times 208.5136}{24} \approx \frac{4.655}{24} \approx 0.194 $
Então, a probabilidade é aproximadamente 19.4%.

Passo 4

(b) Qual é a probabilidade de se encontrar um ninho com menos do que 3 ovos?
Aqui, queremos a probabilidade de encontrar 0, 1 ou 2 ovos. Vamos calcular cada uma separadamente e depois somar.
  1. Para $ k = 0 $:
    k = 0
  2. Para $ k = 1 $:
    P(0; 3.8) = e^-3.8 times 3.8^00! = e^-3.8 times 1 / 1 = e^-3.8 approx 0.0223
  3. Para $ k = 2 $:
    k = 1
Agora, somamos as três probabilidades:
P(1; 3.8) = e^-3.8 times 3.8^11! = 0.0223 times 3.8 approx 0.0847
Então, a probabilidade é aproximadamente 26.8%.

Passo 5

© Supondo que se acabou de encontrar um ninho com 6 ovos, qual a probabilidade de se voltar a encontrar um ninho com 6 ovos?
A distribuição de Poisson possui a propriedade de que cada ocorrência é independente. Isso significa que o que aconteceu antes não afeta o que vai acontecer depois. Portanto, a probabilidade de encontrar um ninho com 6 ovos novamente é simplesmente $ P(6; 3.8) $.
Vamos calcular:
P(6; 3.8)
Calculando passo a passo:
  1. Calcular $ e^{-3.8} $:
    • $ e^{-3.8} \approx 0.0223 $
  2. Calcular $ 3.8^6 $:
    • $ 3.8^6 \approx 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \times 3.8 \approx 2983.69 $
  3. Calcular $ 6! $:
    • $ 6! = 720 $
  4. Substituir na fórmula:
    • $ P(6; 3.8) = \frac{0.0223 \times 2983.69}{720} \approx \frac{66.56}{720} \approx 0.0923 $
Então, a probabilidade é aproximadamente 9.23%.

Resposta

(a) A probabilidade é aproximadamente 19.4%.
(b) A probabilidade é aproximadamente 26.8%.
© A probabilidade é aproximadamente 9.23%.

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