Assumindo uma frequência de operação de 100 H z, transforme as expressões fasoriais para uma única função seno no domínio do tempo:
I=\frac{20 \angle 60^{\circ}}{5 \angle 15^{\circ}} A

Passo 1

O enunciado pede para transformar a expressão fasorial dada em “uma única função seno no domínio do tempo”, considerando a frequência de operação 100\\ \text{Hz}. As informações fornecidas são:
I=\frac{20\angle 60^\circ}{5\angle 15^\circ}\\ \text{A}
e
f = 100\\ \text{Hz}.
O que precisamos obter é uma função da forma i(t)=I_{\text{m}}\sin(\omega t + \varphi) (uma única função seno), com I_{\text{m}}, \omega e \varphi determinados a partir do fasor.

Passo 2

Relembrando uma regra básica de operação com fasores em forma polar: a divisão de dois fasores faz-se separadamente em magnitude e ângulo. Em fórmulas,
\frac{A\angle\alpha}{B\angle\beta}=\frac{A}{B}\angle(\alpha-\beta).
Aplicando isso ao problema:
\frac{20\angle 60^\circ}{5\angle 15^\circ}=\frac{20}{5}\angle(60^\circ-15^\circ).
Calculemos as duas partes: \dfrac{20}{5}=4 e 60^\circ-15^\circ=45^\circ. Portanto o fasor resultante é
I=4\angle 45^\circ\\ \text{A}.
Explicação rápida do porquê: um fasor R\angle\theta representa o número complexo R(\cos\theta + j\sin\theta); dividir complexos em forma polar resulta na divisão dos módulos e na subtração dos argumentos — é só álgebra de números complexos em coordenadas polares.

Passo 3

Agora precisamos passar do fasor I=4\angle 45^\circ para uma função seno no tempo. A forma geral que usaremos é
i(t)=I_{\text{m}}\sin(\omega t + \varphi),
onde:
  • I_{\text{m}} é a amplitude de pico da corrente (unidade: ampère);
  • \omega é a frequência angular em rad/s e vale \omega=2\pi f;
  • \varphi é a fase inicial em radianos;
  • t é o tempo em segundos.
Primeiro calculemos \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 100 = 200\pi\\ \text{rad/s}.
O fasor 4\angle 45^\circ nos dá diretamente a amplitude (se estivermos interpretando o fasor como amplitude de pico) I_{\text{m}}=4 e a fase \varphi=45^\circ. Precisamos converter a fase para radianos para colocar na função seno:
45^\circ = \frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Portanto, sob a convenção onde o fasor fornece a amplitude de pico, a função seno no tempo é
i(t)=4\sin\bigl(200\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \text{A}.

Passo 4

Comentário didático sobre convenções (importante na prova): em circuitos e sinais há duas convenções comuns para fasores:
  • Fasor como amplitude de pico: o fasor I=I_{\text{m}}\angle\varphi corresponde diretamente a i(t)=I_{\text{m}}\sin(\omega t+\varphi) (ou com \cos, dependendo da escolha).
  • Fasor como valor eficaz (RMS): se o fasor for dado em RMS, então a amplitude de pico é I_{\text{m}}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}. Nesse caso, a função seno seria i(t)=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}\sin(\omega t+\varphi).
No enunciado não foi especificado explícita e claramente se os números eram RMS ou picos; a resposta mais direta e usual em muitos exercícios elementares é usar a interpretação de amplitude (pico). Se o seu professor usa a convenção RMS, a forma equivalente seria
i(t)=4\sqrt{2}\sin\bigl(200\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \text{A},
pois 4 nesse caso seria I_{\text{rms}} e o pico seria \sqrt{2}\times 4.

Passo 5

Checagem numérica rápida para sentir o resultado: em t=0,
i(0)=4\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\\ \text{A}.
Isso é só para ver que a amplitude e a fase fazem sentido numericamente.

Resposta

i(t)=4\sin\bigl(200\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \text{A}

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