Assumindo a igualdade dos pares de ângulos alternos internos formados por uma transversal que corta um par de retas paralelas, prove o seguinte:
(a) A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
(b) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de
lados é igual a
ângulos rasos.
(a) A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
(b) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de
Passo 1
O enunciado dá a seguinte hipótese e pede duas coisas:
-
Hipótese dada: assumir que, quando uma transversal corta duas retas paralelas, os pares de ângulos alternos internos são iguais (ou seja, a propriedade usual de retas paralelas e transversal).
-
O que é pedido:
(a) Provar que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
(b) Provar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo delados é igual a ângulos rasos.
Observações extraídas do enunciado (informações relevantes):
- Pode usar a igualdade de ângulos alternos internos sempre que desenhar paralelas e uma transversal.
- Em geometria plana, um ângulo raso é o ângulo formado por uma reta, isto é, tem medida
.
Passo 2
Preparação do caso do triângulo — notação e construção auxiliar.
- Considere um triângulo qualquer
. Denotarei os ângulos internos por , e , correspondendo aos vértices respectivamente. - Vou traçar, através do vértice
, uma reta paralela à base do triângulo. Ou seja, construir a reta tal que e passa por .
Essa construção é um passo padrão: criar uma linha paralela ao lado oposto a um vértice para aproveitar a propriedade dos ângulos alternos internos.
Passo 3
Usar a hipótese (ângulos alternos internos iguais) para relacionar os ângulos do triângulo com ângulos na reta paralela.
- A reta
é uma transversal que corta a paralela e a reta . Pela hipótese, o ângulo que forma com (na posição interna alterna) é igual a . Em notação: o ângulo entre e no lado interno oposto corresponde a . - De modo análogo, a reta
é outra transversal que corta e . Pelo mesmo motivo, o ângulo que forma com (no interior alterno) é igual a .
Para visualizar: sobre a reta
passando por
há três ângulos adjacentes ao ponto
: um formado pela semirreta de
no sentido de
, outro formado pela semirreta de
no sentido de
, e o ângulo interior
entre as retas
e
. Os dois ângulos correspondentes a
e
ficam situados ao lado de
sobre a mesma reta
.
Passo 4
Somar os ângulos ao redor de
sobre a reta paralela e concluir para o triângulo.
- Sobre uma reta, a soma dos dois ângulos adjacentes que formam a reta é um ângulo raso. Isto é, se dois ângulos são colocados lado a lado ao longo de uma reta, sua soma é
(ângulo raso). - No desenho construído, os três ângulos que ficam alinhados sobre a reta
são: o ângulo correspondente a , o próprio , e o ângulo correspondente a . Como os dois ângulos “correspondentes” equivalem a e (pela hipótese dos alternos internos), a soma desses três ângulos é um ângulo raso. - Portanto
Em termos de medida,
Essa é a conclusão exigida em (a): a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
Passo 5
Preparação do caso do polígono convexo de
lados — ideia da triangulação.
- Considere um polígono convexo com
vértices e lados . - Porque o polígono é convexo, qualquer diagonal que se traça entre dois vértices não-adjacentes fica inteiramente dentro do polígono. Isso permite dividir (triangular) o polígono em triângulos sem sobreposição, simplesmente a partir de um vértice escolhido.
- A estratégia: escolher um vértice, por exemplo
, e traçar diagonais de para todos os vértices . Essas diagonais particionam o polígono em triângulos que cobrem completamente o polígono e não se sobrepõem.
Passo 6
Contar quantos triângulos aparecem na triangulação e entender a relação com os ângulos internos.
- Ao traçar as diagonais de
para , forma-se exatamente triângulos: são os triângulos . (Conte: entre e há triângulos.) - Cada um desses triângulos tem soma dos ângulos internos igual a um ângulo raso, pela parte (a) já provada. Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de todos os triângulos é
- Agora, é preciso verificar que a soma das medidas dos ângulos internos desses triângulos é exatamente a soma das medidas dos ângulos internos do polígono (sem duplicação nem omissão). Isso é verdade porque:
- Cada ângulo interno do polígono em um vértice
aparece como ângulo em exatamente um dos triângulos da triangulação (se , o ângulo do vértice é um ângulo de um único triângulo da lista; o ângulo do vértice é subdividido pelas diagonais em várias partes, mas a soma dessas partes é precisamente o ângulo interno de ). Ou seja, os ângulos dos triângulos preenchem exatamente os ângulos internos do polígono, sem contagem dupla. - Como as peças triangulares cobrem o polígono sem sobreposição, a soma das suas ângulos internas é igual à soma dos ângulos internos do polígono.
- Cada ângulo interno do polígono em um vértice
Passo 7
Conclusão para o polígono convexo.
- Reunindo os pontos anteriores:
- Há
triângulos na triangulação do polígono convexo a partir de um vértice. - Cada triângulo contribui com um ângulo raso à soma das suas três medidas internas.
- A soma das medidas internas dos triângulos é igual à soma das medidas internas do polígono.
- Há
- Logo, a soma dos ângulos internos do polígono convexo de
lados é
Resposta
(a)
(b)