Assumindo a igualdade dos pares de ângulos alternos internos formados por uma transversal que corta um par de retas paralelas, prove o seguinte:
(a) A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
(b) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é igual a n-2 ângulos rasos.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte hipótese e pede duas coisas:
  • Hipótese dada: assumir que, quando uma transversal corta duas retas paralelas, os pares de ângulos alternos internos são iguais (ou seja, a propriedade usual de retas paralelas e transversal).
  • O que é pedido:
    (a) Provar que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo raso.
    (b) Provar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é igual a n-2 ângulos rasos.
Observações extraídas do enunciado (informações relevantes):
  • Pode usar a igualdade de ângulos alternos internos sempre que desenhar paralelas e uma transversal.
  • Em geometria plana, um ângulo raso é o ângulo formado por uma reta, isto é, tem medida \,180^\circ.

Passo 2

Preparação do caso do triângulo — notação e construção auxiliar.
  • Considere um triângulo qualquer \triangle ABC. Denotarei os ângulos internos por \angle A, \angle B e \angle C, correspondendo aos vértices A,B,C respectivamente.
  • Vou traçar, através do vértice A, uma reta r paralela à base BC do triângulo. Ou seja, construir a reta r tal que r \parallel BC e r passa por A.
Essa construção é um passo padrão: criar uma linha paralela ao lado oposto a um vértice para aproveitar a propriedade dos ângulos alternos internos.

Passo 3

Usar a hipótese (ângulos alternos internos iguais) para relacionar os ângulos do triângulo com ângulos na reta paralela.
  • A reta AB é uma transversal que corta a paralela r e a reta BC. Pela hipótese, o ângulo que \,AB forma com r (na posição interna alterna) é igual a \angle B. Em notação: o ângulo entre AB e r no lado interno oposto corresponde a \angle B.
  • De modo análogo, a reta AC é outra transversal que corta r e BC. Pelo mesmo motivo, o ângulo que AC forma com r (no interior alterno) é igual a \angle C.
Para visualizar: sobre a reta r passando por A há três ângulos adjacentes ao ponto A: um formado pela semirreta de r no sentido de AB, outro formado pela semirreta de r no sentido de AC, e o ângulo interior \angle A entre as retas AB e AC. Os dois ângulos correspondentes a \angle B e \angle C ficam situados ao lado de \angle A sobre a mesma reta r.

Passo 4

Somar os ângulos ao redor de A sobre a reta paralela e concluir para o triângulo.
  • Sobre uma reta, a soma dos dois ângulos adjacentes que formam a reta é um ângulo raso. Isto é, se dois ângulos são colocados lado a lado ao longo de uma reta, sua soma é \,180^\circ (ângulo raso).
  • No desenho construído, os três ângulos que ficam alinhados sobre a reta r são: o ângulo correspondente a \angle B, o próprio \angle A, e o ângulo correspondente a \angle C. Como os dois ângulos “correspondentes” equivalem a \angle B e \angle C (pela hipótese dos alternos internos), a soma desses três ângulos é um ângulo raso.
  • Portanto \angle B + \angle A + \angle C = \text{ângulo raso}.âEm termos de medida, \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.
Essa é a conclusão exigida em (a): a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso.

Passo 5

Preparação do caso do polígono convexo de n lados — ideia da triangulação.
  • Considere um polígono convexo com n vértices V_1,V_2,\dots,V_n e lados V_1V_2, V_2V_3,\dots,V_nV_1.
  • Porque o polígono é convexo, qualquer diagonal que se traça entre dois vértices não-adjacentes fica inteiramente dentro do polígono. Isso permite dividir (triangular) o polígono em triângulos sem sobreposição, simplesmente a partir de um vértice escolhido.
  • A estratégia: escolher um vértice, por exemplo V_1, e traçar diagonais de V_1 para todos os vértices V_3,V_4,\dots,V_{n-1}. Essas diagonais particionam o polígono em triângulos que cobrem completamente o polígono e não se sobrepõem.

Passo 6

Contar quantos triângulos aparecem na triangulação e entender a relação com os ângulos internos.
  • Ao traçar as diagonais de V_1 para V_3,V_4,\dots,V_{n-1}, forma-se exatamente n-2 triângulos: são os triângulos \triangle V_1V_2V_3,\\ \triangle V_1V_3V_4,\\ \dots,\\ \triangle V_1V_{n-1}V_n. (Conte: entre V_2 e V_n n-2 triângulos.)
  • Cada um desses triângulos tem soma dos ângulos internos igual a um ângulo raso, pela parte (a) já provada. Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de todos os triângulos é (n-2)\times \text{ângulo raso} = (n-2)\cdot 180^\circ.â
  • Agora, é preciso verificar que a soma das medidas dos ângulos internos desses triângulos é exatamente a soma das medidas dos ângulos internos do polígono (sem duplicação nem omissão). Isso é verdade porque:
    • Cada ângulo interno do polígono em um vértice V_k aparece como ângulo em exatamente um dos triângulos da triangulação (se k\neq1, o ângulo do vértice V_k é um ângulo de um único triângulo da lista; o ângulo do vértice V_1 é subdividido pelas diagonais em várias partes, mas a soma dessas partes é precisamente o ângulo interno de V_1). Ou seja, os ângulos dos triângulos preenchem exatamente os ângulos internos do polígono, sem contagem dupla.
    • Como as peças triangulares cobrem o polígono sem sobreposição, a soma das suas ângulos internas é igual à soma dos ângulos internos do polígono.

Passo 7

Conclusão para o polígono convexo.
  • Reunindo os pontos anteriores:
    • n-2 triângulos na triangulação do polígono convexo a partir de um vértice.
    • Cada triângulo contribui com um ângulo raso à soma das suas três medidas internas.
    • A soma das medidas internas dos triângulos é igual à soma das medidas internas do polígono.
  • Logo, a soma dos ângulos internos do polígono convexo de n lados é (n-2)\times \text{ângulo raso} = (n-2)\cdot 180^\circ.â

Resposta

(a) \angle A+\angle B+\angle C=\text{ângulo raso}=180^\circâ
(b) \displaystyle\sum\text{ângulos internos}=(n-2)\,\text{ângulos rasos}=(n-2)\cdot 180^\circââ

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