Estabeleça a identidade
e utilize-a para expressar
como soma de dois quadrados de duas maneiras diferentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) estabelecer a identidade
e (2) usar essa identidade para escrever
como soma de dois quadrados de duas maneiras diferentes.
Informações relevantes dadas ou utilizadas:
- A identidade envolve quatro números arbitrários
. - A fatoração fornecida é
. - Vou usar que
e podem ser escritos como soma de dois quadrados; concretamente: -
. -
.
-
Passo 2
Entendendo a identidade: ela diz que o produto de duas expressões da forma
é novamente uma soma de dois quadrados, com duas opções de sinal que dão representações possivelmente diferentes. Aqui
são números quaisquer (inteiros, reais etc.). Vamos provar a identidade expandindo o membro da direita e mostrando que dá o membro da esquerda.
Passo 3
Prova algébrica da identidade (expansão passo a passo).
Escolho primeiro o sinal superior em
e o sinal correspondente em
, isto é uso
e
. Expando:
Agora desenvolvo cada quadrado:
Somando os dois resultados, os termos com
cancelam:
Agrupando termos com
e com
:
Fatorando
:
Portanto obtivemos a identidade para a escolha dos sinais
. O mesmo cálculo funciona se escolhermos a outra combinação de sinais
porque a expansão produz os mesmos termos (apenas trocando o papel dos sinais, que voltam a cancelar os termos cruzados). Assim a identidade
está provada.
Observação curta e intuitiva (opcional): em linguagem de números complexos,
e
. Tomando o módulo ao quadrado dos dois lados obtém-se exatamente a identidade com um dos sinais; trocar
por
dá a outra opção de sinal.
Passo 4
Aplicando a identidade a
.
Escolhi decomposições evidentes:
Aqui estou fixando
. Vou usar a identidade com as duas escolhas de sinal para obter duas representações.
Passo 5
Primeira escolha de sinais: usar
e
.
Calculo passo a passo:
Tomando quadrados e somando:
Assim uma representação é
(o sinal negativo em
não importa porque se eleva ao quadrado).
Passo 6
Segunda escolha de sinais: usar
e
.
Calculo:
Somando os quadrados:
Portanto a segunda representação é
.