Estabeleça a identidade
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c \pm b d)^{2}+(a d \mp b c)^{2}
e utilize-a para expressar 481=(13)(37) como soma de dois quadrados de duas maneiras diferentes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) estabelecer a identidade
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c \pm b d)^{2}+(a d \mp b c)^{2},
e (2) usar essa identidade para escrever 481=(13)(37) como soma de dois quadrados de duas maneiras diferentes.
Informações relevantes dadas ou utilizadas:
  • A identidade envolve quatro números arbitrários a,b,c,d.
  • A fatoração fornecida é 481=(13)(37).
  • Vou usar que 13 e 37 podem ser escritos como soma de dois quadrados; concretamente:
    • 13=3^{2}+2^{2}.
    • 37=6^{2}+1^{2}.

Passo 2

Entendendo a identidade: ela diz que o produto de duas expressões da forma \left(\text{quadrado}+\text{quadrado}\right) é novamente uma soma de dois quadrados, com duas opções de sinal que dão representações possivelmente diferentes. Aqui a,b,c,d são números quaisquer (inteiros, reais etc.). Vamos provar a identidade expandindo o membro da direita e mostrando que dá o membro da esquerda.

Passo 3

Prova algébrica da identidade (expansão passo a passo).
Escolho primeiro o sinal superior em \pm e o sinal correspondente em \mp, isto é uso (ac+bd) e (ad-bc). Expando:
(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.
Agora desenvolvo cada quadrado:
(ac+bd)^{2}=a^{2}c^{2}+2ab\,cd+b^{2}d^{2},
(ad-bc)^{2}=a^{2}d^{2}-2ab\,cd+b^{2}c^{2}.
Somando os dois resultados, os termos com 2ab\,cd cancelam:
(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}.
Agrupando termos com a^{2} e com b^{2}:
= a^{2}(c^{2}+d^{2}) + b^{2}(c^{2}+d^{2}).
Fatorando (c^{2}+d^{2}):
= (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).
Portanto obtivemos a identidade para a escolha dos sinais (+,-). O mesmo cálculo funciona se escolhermos a outra combinação de sinais (ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2} porque a expansão produz os mesmos termos (apenas trocando o papel dos sinais, que voltam a cancelar os termos cruzados). Assim a identidade
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c \pm b d)^{2}+(a d \mp b c)^{2}
está provada.
Observação curta e intuitiva (opcional): em linguagem de números complexos, |a+bi|^{2}=a^{2}+b^{2} e (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc). Tomando o módulo ao quadrado dos dois lados obtém-se exatamente a identidade com um dos sinais; trocar d por -d dá a outra opção de sinal.

Passo 4

Aplicando a identidade a 481=(13)(37).
Escolhi decomposições evidentes:
13 = 3^{2}+2^{2},\qquad 37 = 6^{2}+1^{2}.
Aqui estou fixando a=3,\; b=2,\; c=6,\; d=1. Vou usar a identidade com as duas escolhas de sinal para obter duas representações.

Passo 5

Primeira escolha de sinais: usar (ac+bd) e (ad-bc).
Calculo passo a passo:
ac+bd = 3\cdot 6 + 2\cdot 1 = 18 + 2 = 20,
ad-bc = 3\cdot 1 - 2\cdot 6 = 3 - 12 = -9.
Tomando quadrados e somando:
20^{2} + (-9)^{2} = 400 + 81 = 481.
Assim uma representação é 481 = 20^{2}+9^{2} (o sinal negativo em -9 não importa porque se eleva ao quadrado).

Passo 6

Segunda escolha de sinais: usar (ac-bd) e (ad+bc).
Calculo:
ac-bd = 3\cdot 6 - 2\cdot 1 = 18 - 2 = 16,
ad+bc = 3\cdot 1 + 2\cdot 6 = 3 + 12 = 15.
Somando os quadrados:
16^{2} + 15^{2} = 256 + 225 = 481.
Portanto a segunda representação é 481 = 16^{2}+15^{2}.

Resposta

481=20^{2}+9^{2}
481=16^{2}+15^{2}

Exercícios relacionados